Cronologia della vita e delle opere
di Giuseppe Peano



1858
Giuseppe Peano nasce il 27 Agosto nella borgata Tetto Galant di Spinetta, presso Cuneo, da Bartolomeo (1828-1888) e Rosa Cavallo (?-1910), secondo dei cinque figli Michele, Giuseppe, Francesco, Bartolomeo e Rosa.
1865 - 1870
Dopo aver frequentato i primi anni di scuola elementare a Spinetta, insieme con la famiglia Giuseppe si trasferisce a Cuneo, dove continua gli studi. I Peano risiedono in un alloggio in località Lazzaretto, oggi nota come Baluardi Gesso.
1870 - 1871
Lo zio materno, Giuseppe Michele Cavallo, ecclesiastico, avvocato alla curia vescovile di Torino e cappellano all'ospedale S. Giovanni lo invita a proseguire gli studi nel capoluogo piemontese. Il ragazzo lascia la città natale e compie privatamente gli studi presso l'Istituto G. Ferraris, preparandosi all'esame di licenza ginnasiale.
1873
Dopo aver sostenuto da privatista l'esame di licenza al Liceo classico Cavour, Peano si iscrive a questo Istituto per compiere il triennio di scuola superiore.
1873 - 1876
Peano frequenta il Liceo Cavour e, nel Luglio del 1876, supera brillantemente l'esame di maturità con la votazione 106/120, distinguendosi in particolare nelle prove orali, con il punteggio massimo.
1876 - 1877
Il 2 Ottobre Peano si iscrive al corso di laurea in Matematica all'Università di Torino, e ottiene una borsa di studio e un posto presso il R. Collegio delle Province Carlo Alberto, sito in via Po 15. É immatricolato il 13 Novembre. Nell'a.a. 1876-77 segue i corsi di Geometria analitica (Enrico D'Ovidio), Geometria proiettiva e Disegno (Giuseppe Bruno) e Chimica (Hugo Schiff) e Disegno ornamentale (Carlo Ceppi).
L'8 Giugno 1877 ottiene la menzione onorevole nel concorso per i premi di studio Balbo, Bricco e Martini.
Nel Luglio sostiene tutti gli esami, riportando le votazioni massime.
1877 - 1878
Durante questo a.a. frequenta le lezioni di Zoologia (Michele Lessona), Mineralogia e Geologia (Giorgio Spezia), Calcolo infinitesimale (Aangelo Genocchi, con assistente Eligio Martini), Fisica (Giuseppe Basso), Geometria descrittiva (Giuseppe Bruno) e Disegno ornamentale (Carlo Ceppi). Anche per quest'a.a. sostiene brillantemente tutti gli esami e fra l'altro si classifica quarto tra i vincitori del concorso per premi di studio Balbo, Bricco e Martini.
1878 - 1879
Dopo il biennio, conseguito il diploma di licenza il 3 Novembre 1878, Peano prosegue gli studi nel corso di laurea in Matematica pura. Nel terzo a.a. segue i corsi di Geodesia (Giuseppe Lantelme), Meccanica Razionale (Giuseppe Bartolomeo Erba), Analisi superiore (Francesco Faà di Bruno) e Geometria Superiore (Enrico D'Ovidio) e riporta nei relativi esami eccellenti profitti.
1879 - 1880
Durante l'ultimo a.a. Peano frequenta le lezioni di Geometria Superiore (Enrico D'Ovidio), Fisica Matematica (Giuseppe Basso) e Meccanica superiore (Francesco Siacci) e supera brillantemente i relativi esami.
1880
Il 16 Luglio 1880 Peano si laurea in Matematica con pieni voti assoluti (18/18) discutendo sotto la direzione di Enrico D'Ovidio la tesi di Geometria superiore Sul connesso di secondo ordine e di seconda classe.
Il 27 Ottobre è assunto come assistente di D'Ovidio per l'a.a. 1880-81 sulla cattedra di Algebra complementare e geometria analitica. Fra i suoi studenti vi è Giovanni Vailati, con cui Peano intreccerà negli anni a venire un saldo e durevole rapporto di amicizia e di collaborazione.
1881
Il 18 Aprile 1881 E. D'Ovidio presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la prima pubblicazione di Peano, frutto della sua tesi di laurea, intitolata Costruzione dei connessi (1,2) e (2,2), (1880a).
Chiamato a sostituire Eligio Martini nella commissione per gli esami di Calcolo infinitesimale, il 16 Giugno Peano opera per la prima volta a contatto con Angelo Genocchi.
Nell'Ottobre è nominato suo assistente sulla cattedra di Calcolo infinitesimale, per l'a.a. 1881-82 e sarà riconfermato in tale incarico fino al Marzo del 1889.
Il 27 Novembre D'Ovidio presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la seconda nota di Peano, concernente Un teorema sulle forme multiple (1881a). Nello stesso mese appare sul Giornale di Matematiche di G. Battaglini l'articolo Formazioni invariantive delle corrispondenze (1882a).
1882
Nella seduta del 16 Aprile 1882 E. D'Ovidio presenta all'Accademia delle Scienze di Torino l'articolo di Peano Sui sistemi di forme binarie di egual grado e sistema completo di quante si vogliano cubiche (1881b), che costituisce il suo ultimo lavoro nell'ambito della teoria delle forme, studiata sotto l'influenza dei professori, suoi Maestri E. D'Ovidio e F. Faà di Bruno. Essendosi fratturato una rotula, il 22 Aprile A. Genocchi è costretto ad interrompere le sue lezioni e Peano lo sostituirà ininterrottamente fino all'11 Marzo 1884.
Il 22 Maggio il giovane matematico scopre un errore nella definizione, proposta da Joseph Alfred Serret, di area di una superficie curva e illustra ai suoi studenti il celebre contro-esempio denominato 'lampioncino alla veneziana'. La scoperta è subito comunicata a Genocchi, che il 26 Maggio ne informa Hermann Schwarz, il quale sta lavorando sullo stesso tema. La nuova definizione di area, elaborata indipendentemente da Peano e da Schwarz, sarà pubblicata da Charles Hermite nelle dispense litografate del suo corso del 1882-1883. I contributi originali di Peano e di Schwarz saranno invece editi solo nel 1887 e nel 1890.
Nell'Estate del 1882 dopo aver abitato per un breve periodo in via Milano 12, Peano si trasferisce in via Po 28, in un alloggio al quarto piano. Il 14 Luglio, a conclusione del suo primo anno di assistentato, scrive a Genocchi ringraziandolo per la proposta di aumento di stipendio e comunicandogli gli esiti della sessione di esami.
Il 7 Ottobre, alla ripresa dell'attività didattica dopo le vacanze, Peano espone a Genocchi alcune critiche alla dimostrazione del teorema dei valori intermedi, fornita da Camille Jordan nel suo Cours d'Analyse (1882).
1883
Nella seduta del 1° Aprile Francesco Siacci presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la prima ricerca di Peano di Analisi infinitesimale, intitolata Sull'integrabilità delle funzioni, (1882b) dove si trova una definizione alternativa dell'integrale definito, mediante l'estremo superiore ed inferiore delle somme integrali, e l'introduzione del concetto di area per mezzo di quelli di estremo superiore ed inferiore.
Il 20 Maggio ancora Siacci sottopone per la pubblicazione all'Accademia delle Scienze di Torino la nota di Peano Sulle funzioni interpolari (1882c).
Su invito di Lerda, direttore della casa editrice Bocca, nella lettera del 7 Giugno, Peano chiede a Genocchi l'autorizzazione a curare l'edizione del suo corso di Calcolo infinitesimale che, impartito a partire dal 1865, aveva riscosso per il suo rigore gli apprezzamenti della comunità matematica.
Il 16 Agosto l'anziano professore comunica al suo amico Pietro Agnelli di aver accordato il permesso di pubblicare le sue lezioni.
Nell'Autunno del 1883 il giovane matematico si trasferisce in via Po 40. Avendo ricevuto dall'editore Bocca la pubblicità che annunciava la prossima comparsa del testo di Calcolo infinitesimale, il 6 Novembre e il 2 Dicembre Felice Casorati scrive a Peano per avere informazioni sull'opera, desiderando consigliarne l'acquisto ai suoi studenti dell'Università di Pavia. Conscio del fatto che il trattato uscirà con un forte ritardo, Peano propone a Casorati (13 Novembre) di inviargli i fascicoli già editi, e cioè le prime 100 pagine.
Nel frattempo (10 Novembre) annuncia a Vito Volterra la prossima pubblicazione di un corso di Calcolo "fatto secondo i metodi del prof. Genocchi" e commenta pure la genesi della sua nota Sull'integrabilità delle funzioni, frutto di una lezione universitaria. L'11 Novembre Genocchi informa l'amico Placido Tardy che Peano sta redigendo le sue lezioni. Temendo di "avere troppo a seccarsi" egli dichiara di essersi mantenuto del tutto estraneo alla compilazione del trattato e di aver persino rifiutato di rivedere il manoscritto e le bozze di stampa. Tardy risponde il 13 Novembre, con un caldo invito a supportare il suo assistente, non facendogli mancare aiuti e consigli.
1884
La critica di Peano alla dimostrazione della formula degli accrescimenti finiti, fornita da C. Jordan nel suo Cours d'Analyse è oggetto, nel Gennaio, della prima pubblicazione di Peano su una rivista estera, i Nouvelles Annales. Si tratta della nota Extrait d'une lettre [su un teorema di Jordan] (1884a). Jordan accetta la critica di Peano, chiedendogli la dimostrazione della proprietà in questione, mentre Philippe Gilbert, docente di Analisi all'Università di Lovanio si schiera polemicamente contro il giovane. Questi replica alle critiche di Gilbert redigendo una Réponse (1884b). Il 9 Gennaio giunge intanto a Genocchi una lettera di H. Schwarz nella quale il celebre matematico loda la nota di Peano sull'integrabilità delle funzioni.
Il 16 Febbraio quest'ultimo comunica a Jordan la dimostrazione richiestagli, che dichiara di aver appreso anni prima a lezione da Genocchi.
L'eco della polemica fra Peano, Jordan e Gilbert si diffonde in Italia. Il 1 Marzo P. Tardy, chiedendo informazioni a Genocchi sulla prossima uscita del suo trattato di Calcolo, si dichiara d'accordo con il giovane matematico nelle critiche alla dimostrazione di Jordan. L'11 Marzo Genocchi risponde a Tardy che sono state ormai stampate 150 pagine del suo corso e che Peano ha scritto a Jordan comunicandogli la dimostrazione richiesta. Due giorni dopo (13 Marzo) Tardy informa Genocchi che, dopo una lettura più attenta, non è ora del tutto persuaso della correttezza delle critiche di Peano e gli chiede ragguagli su chi sia l'editore delle sue lezioni. Risalgono probabilmente a questo periodo due lettere di Peano a Genocchi contenenti appunti, osservazioni sui trattati di J. Bertrand e G. Novi e citazioni tratte dagli articoli di N. Abel e M.L. Olivier, poi utilizzate per redigere le Annotazioni di apertura al volume di Calcolo. Nel frattempo, nella seduta di Facoltà del 17 Marzo, è presentata la domanda di Peano per la libera docenza in Calcolo infinitesimale. La commissione esaminatrice, nominata in quella riunione, è composta da Genocchi, Siacci e D'Ovidio. La loro relazione è letta in Facoltà il 19 Aprile e il diploma di abilitazione, trasmesso dal Ministero, reca la data del 4 Dicembre.
Il 10 Aprile Genocchi torna a commentare con Tardy la polemica fra Peano e Gilbert, criticando la condotta euristica del matematico belga. L'amico gli risponde il 18 Aprile, manifestando l'intenzione di acquistare i fascicoli già editi del trattato di Calcolo. Il 27 dello stesso mese Genocchi, aggiorna ancora Tardy sugli sviluppi della polemica, comunicandogli che C. Jordan ha risposto con grande gentilezza a Peano, ringraziandolo della dimostrazione che gli ha fornito, di cui profitterà nella riedizione del suo trattato.
Il 19 Maggio, mentre a lezione sta affrontando le equazioni differenziali, Peano si rivolge a Genocchi per avere il suo parere riguardo a una proposizione sulle equazioni differenziali lineari omogenee di grado n, dimostrata da R. Baltzer ma intuita, per n=2, da N. Abel.
Nell'Autunno Peano si trasferisce in via degli Artisti 31.
Il 1 Settembre appare il testo di Genocchi Calcolo differenziale e principi di calcolo integrale (1884c) pubblicato da Peano con rilevanti aggiunte, che provocano le risentite proteste dell'anziano matematico. Il volume, che diventerà noto in letteratura come Genocchi-Peano, riscuote grande successo a livello internazionale e sarà tradotto in tedesco nel 1899 e in russo nel 1903 e nel 1922.
Dopo aver consegnato al Maestro, il 23 Settembre, un esemplare del trattato, il 4 Ottobre Peano gli comunica il contenuto di due lettere di A. Harnack e di M. Pasch inerenti alcuni paragrafi dell'opera, ed in particolare le critiche mosse a J. Serret e la teoria dei massimi e minimi. Il 6 Ottobre C. Hermite, corrispondente di lunga data di Genocchi, si congratula con lui per l'uscita del volume, di cui ha apprezzato particolarmente la trattazione delle funzioni interpolari. Proprio in questi giorni, dopo una prima scorsa al trattato, Genocchi si rende però conto che esso è palesemente diverso dalle sue Lezioni e, piccato per le numerose integrazioni e modifiche apportate da Peano, non adeguatamente segnalate, né contrassegnate con una sigla, invia a P. Mansion, redattore della rivista belga Mathesis, una dichiarazione di estraneità alla paternità dell'opera. Il 17 Ottobre Mansion comunica che accetta di pubblicare la Dichiarazione e, fortemente incuriosito, chiede in prestito un esemplare al matematico piacentino. Il 25 Ottobre Genocchi manifesta anche a P. Tardy il suo risentimento nei confronti di Peano e il proposito di pubblicare una "protesta". Dichiarazioni di Genocchi di estraneità all'opera saranno effettivamente edite, oltre che su Mathesis, anche negli Annali di F. Brioschi e sui Nouvelles Annales de Mathématiques . Il 28 Ottobre Mansion torna a scrivere a Genocchi, lodando i pregi del trattato di Calcolo curato da Peano, che si ripromette di utilizzare per la redazione del suo Cours de Calcul infinitésimale. Tre giorni più tardi (31 Ottobre) Hermite compiange Genocchi, comprendendo il suo rammarico nei confronti dell'assistente "indiscreto e infedele", ma nonostante ciò lo invita a prescindere per un momento dai risvolti etici della vicenda e ad apprezzare il testo come un'opera dal taglio moderno, che concede ampio spazio alle esigenze del rigore.
L'8 Novembre anche Tardy esprime il suo stupore per la condotta di Peano.
Nel frattempo l'arrivo di numerosi elogi del trattato porta Genocchi a rivedere il suo giudizio nei confronti di Peano che, come scrive a Luigi Cremona (23 Novembre), è "fortemente abbattuto" per l'intera vicenda. Il 25 Novembre, avendo rinunciato a pubblicare un'altra dichiarazione sul Giornale di Matematiche di G. Battaglini, Genocchi comunica a Tardy che molti reputano eccellente il volume di Calcolo. Al suo allievo è ormai imputata solo una colpa di imprudenza tipicamente giovanile. Tardy si rallegra con Genocchi e il 28 Novembre si dichiara persuaso che Peano non avesse avuto intenzione di "mancare di riguardo" al Maestro.
I rapporti fra il professore e l'assistente ritornano ottimi e in una lettera a Tardy del 6 Dicembre Genocchi completa la restitutio della condotta di Peano, precisando che la pubblicazione del trattato era avvenuta dietro suo esplicito consenso.
1885
Peano trasferisce la sua abitazione in piazza Castello 25.
Sulla rivista belga Mathesis (5, 1885, p. 11) Peano convalida la Dichiarazione di A. Genocchi di estraneità all'opera, apparsa nell'ottobre del 1884, accollandosi l'intera responsabilità della redazione.
Egli sostituisce ufficialmente Genocchi nell'a.a. 1885-86 anche nel corso di Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale mentre tiene, come libero docente, l'insegnamento di Geometria infinitesimale trattata sinteticamente.
Nell'Ottobre si conclude il primo concorso a cattedra di Calcolo infinitesimale presso l'Ateneo di Modena, cui aveva partecipato Peano, senza successo. Nella relazione, datata 11 Ottobre, i commissari G. Battaglini (Presidente), F. Storchi, C.M. Pinna, A. Fais e N. Dino valutano le prime sette pubblicazioni del giovane, apprezzando i suoi contributi sulla teoria delle forme, ma criticando severamente il Genocchi-Peano.
Il 24 Dicembre Peano aderisce alla loggia massonica Dante Alighieri di Torino, guidata dal socialista Giovanni Lerda.
1886
Costretto per ragioni di salute a interrompere le sue lezioni il 18 Febbraio, Genocchi richiede una supplenza di due mesi, che viene affidata a Peano.
Nella seduta del 20 Giugno è presentata all'Accademia delle Scienze di Torino la nota di Peano Sull'integrabilità delle equazioni differenziali di primo ordine (1885a), dove egli dimostra che l'equazione differenziale ordinaria y' = f(x,y) ammette una soluzione sotto l'unica ipotesi che f sia continua.
Nell'Estate Peano comunica a Genocchi la morte improvvisa dell'astronomo Alessandro Dorna, docente dell'Università di Torino e il 7 Settembre annuncia al Maestro che sta lavorando alla redazione del secondo tomo del Genocchi-Peano dedicato alle Applicazioni geometriche.
Il 21 Ottobre Peano è nominato professore di Calcolo infinitesimale presso l'Accademia di Artiglieria e Genio di Torino.
1887
È edito a Torino, per i tipi di Bocca, il volume Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (1887b). Il testo è fortemente innovativo per l'utilizzo del calcolo dei segmenti e dei metodi geometrici. Fra i contributi di maggiore rilievo si segnalano le formule di quadratura, i risultati sulle funzioni di insieme e la definizione di misura di un campo di punti, oggetto di successive estensioni ad opera di Camille Jordan e di Henri Lebesgue.
Il 20 Febbraio è presentata all'Accademia delle Scienze di Torino la nota Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari (1887a), nella quale si determinano le risolventi di un sistema di n equazioni differenziali ordinarie lineari applicando il metodo delle approssimazioni o integrazioni successive.
Il 21 Luglio Peano sposa Carola Crosio, la minore delle quattro figlie del pittore di maniera Luigi Crosio e, dopo il viaggio di nozze a Genova, Livorno e Firenze, il 28 Luglio la coppia si stabilisce in piazza Castello 25.
Il 10 Ottobre, alla ripresa dell'anno accademico, Peano comunica a Felix Klein, direttore dei Mathematische Annalen, che accetta volentieri il suo invito a pubblicarvi una versione in francese, con lievi modifiche, della nota Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari e si impegna ad inviargli il trattato Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale.
1888
Il 1° Febbraio esce presso l'editore Bocca il Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di Hermann Grassmann (1888a), a cura di Peano. Il capitolo Operazioni della logica deduttiva, posto in apertura, rappresenta il suo primo lavoro di logica matematica. L'opera, che eserciterà una notevole influenza sullo sviluppo dell'analisi vettoriale in Italia e sarà oggetto di riprese e ampliamenti nel corso degli anni, è assai apprezzata per la chiarezza e per il rigore dell'esposizione.
Il 6 Febbraio muore suo padre, Bartolomeo Peano.
L'8 Aprile il matematico cuneese invia a F. Klein la versione definitiva della nota Intégration par séries des équations différentielles linéaires (1888b), che appare nello stesso mese sui Mathematische Annalen e declina invece l'invito a presentare una nuova versione del suo scritto del 1886 sull'integrabilità delle equazioni differenziali, non essendo ancora riuscito ad estendere alle equazioni d'ordine superiore il teorema ivi dimostrato.
Il 1° Maggio esce sul Giornale di Matematiche di G. Battaglini l'articolo Definizione geometrica delle funzioni ellittiche (1888c), che sarà tradotto in portoghese da Francisco Gomes Teixeira nel 1889.
Fra la Primavera e l'Autunno Peano interviene più volte sui Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, rispondendo ad alcune obiezioni di Francesco Giudice del 4 e del 18 Dicembre 1887 sul suo trattato di Calcolo del 1884, edite sullo stesso periodico. La breve polemica fra i due matematici, che poco dopo intrecceranno uno stretto rapporto di collaborazione, nasce da un appunto mosso da Peano il 13 Maggio nelle sue Osservazioni sopra una nota del prof. Francesco Giudice (1888d). In seguito alla replica del collega, Peano interviene il 14 Ottobre con la Risposta del prof. Francesco Giudice contenuta in questi Rendiconti a p. 94 (1888e), che chiude il dibattito fra i due analisti.
Nello stesso volume della rivista siciliana appare, sempre in data 14 Ottobre, l'articolo Teoremi su massimi e minimi geometrici, e su normali a curve e superficie (1888f), nel quale Peano sfrutta estesamente i metodi del calcolo geometrico.
Nell'Autunno Mario Pieri è nominato assistente di Geometria proiettiva all'Università di Torino che diventerà uno dei principali esponenti della Scuola torinese di Logica. È tuttora conservato un carteggio fra Peano e Pieri, purtroppo assai lacunoso, che comprende alcune lettere e cartoline del periodo 28 Gennaio 1903 - 5 Febbraio 1913.
1889
La famiglia Peano si trasferisce in corso Valentino 1, in un alloggio al terzo piano. All'inizio dell'anno esce l'opuscolo scritto in latino Arithmetices principia, nova methodo exposita (1889a), contenente la teoria assiomatica dell'Aritmetica, ottenuta a partire da quattro concetti primitivi (numero, uno, successivo e uguale, poi espunto, in quanto si tratta di un concetto logico) e da nove postulati, fra cui i cinque celebri cinque assiomi. Nell'opera Peano sfrutta estesamente il simbolismo logico-ideografico, introducendo i segni ε (appartenenza), &0xC9; (inclusione ed implicazione), [ ] (gli x tali che), &0xD9; (falso o nulla) e &0xDA;(vero o tutto).
Il 7 Marzo muore l'amato Maestro A. Genocchi e Peano lo commemora, insieme a E. D'Ovidio, sul quotidiano La Letteratura (1 Aprile). Nello stesso mese appare sulla rivista belga Mathesis la nota Sur le déterminant Wronskien (1889b) dove il matematico cuneese dimostra, tramite opportuni esempi, che il Wronskiano di più funzioni di una variabile reale può essere identicamente nullo in un intervallo, senza che le funzioni siano ivi linearmente dipendenti.
Fra il 14 e 16 Aprile, durante le vacanze pasquali, Peano si reca a piedi da Torino a Genova.
Nel Maggio, il periodico belga Mathesis accoglie un'altra sua nota Sur les Wronskiens (Extrait d'une lettre) (1889c), a completamento del precedente lavoro.
In Giugno sono dati alle stampe I principii di geometria logicamente esposti (1889d), un opuscolo in cui il matematico cuneese prosegue lo studio assiomatico avviato negli Arithmetices principia. Inserendosi nella linea di ricerca avviata da Moriz Pasch nel 1882 e che culminerà con i magistrali Grundlagen der Geometrie di David Hilbert (1899), Peano si preoccupa di fornire per la Geometria un sistema completo e minimale di assiomi indipendenti fra loro.
Risalgono all'Estate altre due sue pubblicazioni, scaturite da spunti di ricerca tratti dal Genocchi-Peano: la nota Une nouvelle forme du reste dans la formule de Taylor (Agosto-Settembre, 1889e) e l'articolo Su d'una proposizione riferentesi ai determinanti jacobiani (1889f).
Nel Settembre Peano presenta i titoli per il concorso alla cattedra di Calcolo infinitesimale presso l'Ateneo torinese, restata vacante in seguito alla scomparsa di Genocchi.
Il 26 Ottobre si rivolge a Felice Casorati, che avrebbe dovuto far parte della commissione giudicatrice incaricata di esaminarlo, per informarsi sulle tempistiche di espletamento delle procedure concorsuali. In questa occasione gli invia anche alcuni appunti sulla definizione di area di una superficie curva, un tema di cui lo stesso Casorati si era a lungo occupato.
Il 4 Novembre l'anziano matematico gli comunica che, a causa delle sue precarie condizioni di salute, ha declinato l'invito a far parte della Commissione giudicatrice. Nel contempo, lo esorta a pubblicare la sua definizione di area, offrendosi di presentarla all'Accademia dei Lincei. Il 26 Novembre Peano ringrazia Casorati, accettando il suo invito, e si consiglia con lui sull'opportunità di rivendicare la priorità nei confronti di V.J. Boussinesq a proposito della dimostrazione della formula di approssimazione del perimetro di un'ellisse.
Nel frattempo, è giunta al giovane matematico la promozione a professore di 1a classe presso l'Accademia militare.
Il 14 Dicembre Peano invia a Casorati l'articolo sulla definizione di area di una superficie curva.
Tre gioni dopo (17 Dicembre), presenta per la pubblicazione sui prestigiosi Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences di Parigi la nota Sur une formule d'approximation pour la rectification de l'ellipse (1889g), che è letta da Charles Hermite nella seduta del 23 Dicembre.
Il giorno di Natale, Peano torna a scrivere a Casorati per sincerarsi del ricevimento del suo manoscritto e gli comunica di aver inviato a Parigi il lavoro sulla rettificazione approssimata dell'ellisse. Casorati risponde il 26 Dicembre, scusandosi per non aver ancora avuto modo di leggere il testo sulla definizione di area, a causa dei problemi di salute che lo affliggono. Si ripromette di inoltrarlo al principio dell'anno nuovo all'Accademia dei Lincei, e si rallegra per l'avvenuta presentazione della nota di Peano all'Accademia delle Scienze di Parigi.
1890
Il 1890 costituisce un annus mirabilis per i contributi scientifici di Peano.
Nel Gennaio è edita sui Mathematische Annalen la sua nota Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane (1890b) nella quale fornisce le equazioni parametriche della celebre curva continua che riempie un quadrato. Considerata da Felix Hausdorff "uno dei fatti più notevoli in teoria degli insiemi", la scoperta di Peano costituisce una "pietra miliare nella storia del concetto di dimensione", ed è il primo esempio di quelle curve mostruose, lo studio della cui geometria porterà all'introduzione dei frattali.
Il 6 Gennaio F. Casorati ha intanto comunicato a Peano di aver spedito a Pietro Blaserna la sua nota Sulla definizione dell'area d'una superficie (1890c), affinché sia presentata nella prossima seduta lincea. Essa sarà edita poco dopo sui Rendiconti di questa Accademia. Casorati propone però a Peano alcune modifiche, invitandolo a citare i contributi di H. Schwarz alla soluzione del problema. Il 7 Febbraio Peano invia a Casorati un estratto dell'articolo. Tenendo conto delle sue osservazioni, ha inserito una lunga nota in cui cita i risultati di Schwarz, ma anche il fatto di essere riuscito indipendentemente a formulare la stessa critica alla definizione di J. Serret nella lezione del 22 Maggio 1882, litografata dai suoi studenti.
Sull'Annuario accademico dell'Università di Torino per l'anno 1889-90 appare il necrologio scritto da Peano del Maestro Angelo Genocchi (1890a). Nell'Aprile, sfruttando il simbolismo logico-ideografico introdotto nei saggi del 1888-89, Peano compendia le 25 proposizioni della teoria delle proporzioni di Eudosso in poco meno di due pagine, pubblicando Les propositions du cinquième livre d'Euclide, réduites en formules (1890d). Contemporaneamente studia le condizioni minime necessarie perché le derivate parziali seconde miste di una funzione di due variabili reali commutino fra loro, discutendone con H. Schwarz (27 Aprile). I suoi risultati saranno oggetto dello scritto Sur l'interversion des dérivations partielles (1890e), apparso nel fascicolo di Luglio del periodico belga Mathesis.
Nelle vacanze estive, a Luglio, Peano si reca a Savona e, nell'Agosto, fra il 1° e il 22, è gravemente colpito da un attacco di vaiolo.
Alla ripresa dell'anno accademico gli è per la prima volta assegnato un assistente per aiutarlo nella didattica. Si tratta di Filiberto Castellano che collaborerà attivamente alle iniziative da lui promosse.
Nell'Autunno esce sui Mathematische Annalen un altro celebre lavoro di Peano: la nota Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires (1890f) dove si dimostra l'esistenza di una soluzione per un sistema di equazioni differenziali ordinarie, nella sola ipotesi che le funzioni considerate siano continue. Il teorema è preceduto da un'ampia introduzione esplicativa del simbolismo logico. In questo contesto Peano si imbatte nell'assioma di scelta e ne rifiuta l'utilizzo.
Nel frattempo è presentata da Eugenio Beltrami all'Accademia dei Lincei un'altra nota di Peano intitolata Valori approssimati per l'area di un ellissoide (1890g).
Il 5 Ottobre si concludono i lavori della Commissione giudicatrice del concorso a cattedra di Calcolo infinitesimale presso l'Ateneo torinese, costituita da F. Brioschi (Presidente), E. Beltrami, S. Pincherle, A. Tonelli e V. Volterra. La relazione sarà pubblicata il 16 Aprile 1891 sul Bollettino della Pubblica Istruzione (XVIII, n. 16, pp. 425-429). Anche se Peano risulta vincitore, ex aequo con Ernesto Pascal, il giudizio non è completamente positivo: i commissari mettono in guardia il candidato dalla tendenza ad introdurre i simboli della logica deduttiva, che "non sembra dover giovare né al progresso della scienza, né alla chiarezza dell'insegnamento".
Il 1 Dicembre giunge a Peano la nomina a professore straordinario di Calcolo infinitesimale.
Nella seduta dell'Accademia delle Scienze di Torino del 28 Dicembre è presentata la sua nota Sopra alcune curve singolari (1891a).
1891
Nel Gennaio Peano dà alle stampe presso l'editore Candeletti l'opuscolo Gli elementi di calcolo geometrico (1891b), concepito come libro di testo per il corso di Applicazioni geometriche del Calcolo infinitesimale. Il saggio sarà subito tradotto in tedesco.
Il 25 Gennaio egli è eletto socio dell'Accademia delle Scienze di Torino e l'elezione è confermata da un Regio Decreto del 5 Febbraio e annunciata nella seduta del 22 Marzo.
All'inizio dell'anno il matematico cuneese fonda la Rivista di Matematica, con la collaborazione, fra gli altri, di Filiberto Castellano, Enrico Novarese, Francesco Porta e Francesco Porro. Il periodico, che nei suoi intenti programmatici ha scopo essenzialmente didattico, diventerà l'organo principale della diffusione degli studi di Logica e del progetto editoriale del Formulario. I suoi otto volumi, l'ultimo dei quali risale al 1902-1906, ospiteranno numerosissimi articoli di Peano e di esponenti della sua Scuola.
Nel primo tomo appaiono gli articoli di Peano Principii di logica matematica (Gennaio 1891c); Sommario dei libri VII, VIII, IX di Euclide (Gennaio 1891d); Formole di logica matematica (Febbraio 1891g); Sul concetto di numero. Nota I (1891i); Aggiunte e correzioni alle formule di logica matematica ([Luglio], 1891m) e Sul concetto di numero. Nota II ([Autunno], 1891o). In quest'ultimo saggio egli dimostra l'indipendenza dei cinque assiomi per i numeri naturali e al termine accenna per la prima volta al progetto di curare una raccolta di proposizioni tradotte in linguaggio logico-ideografico: è questa la genesi del celebre Formulario.
Il matematico cuneese cura anche, per la Rivista di Matematica, alcune recensioni: dell'opera di E.W. Hyde, The directional Calculus, based upon the methods of Hermann Grassmann (1891e), del Corso di calcolo infinitesimale di Francesco D'Arcais (Febbraio, 1891f), del trattato di Samuel Dickstein, Pojeçia i metody matematyki, tomo I ([Maggio], 1891j) e dei Vorlesungen über die Algebra der Logik (Exacte Logik) di Ernst Schröder ([Giugno], 1891l).
Sulle pagine della Rivista di Matematica scoppiano anche, contemporaneamente, alcune polemiche. L'intervento di Peano dal titolo Osservazioni del Direttore sull'articolo precedente (1891h) in merito alla nota di Corrado Segre, Su alcuni indirizzi nelle investigazioni geometriche, apparso nel fascicolo di Febbraio, è all'origine di un acceso dibattito con il collega di Geometria algebrica, a proposito del rigore deduttivo e del ruolo dell'intuizione. Lo scontro fra i due punti di vista divergenti prosegue fino al mese di Aprile e si chiude con la Risposta di Peano (1891k) alla Dichiarazione di Corrado Segre. Il 1 Dicembre appare invece la Lettera aperta al Prof. Giuseppe Veronese (1891p), nella quale Peano rileva gravi lacune nel volume Fondamenti di geometria a più dimensioni di G. Veronese, scatenando una nuova polemica con i geometri.
In qualità di Direttore della Rivista il logico cuneese intensifica i suoi rapporti con la comunità matematica. Risale al 5 Febbraio la prima lettera al collega Ernesto Cesàro dell'Università di Napoli, un carteggio che proseguirà fino al 25 Gennaio 1905. Il 17 Marzo inizia la corrispondenza con Federico Amodeo, studioso di geometria e storico della matematica, che si concluderà il 26 Giugno 1929.
Il 4 Luglio Peano acquista una villa a Cavoretto, in Strada Val Pattonera n. 566, al prezzo di L. 7500, insieme a 8820 mq di terreno circostante. Qui amerà d'ora in avanti trascorrere i mesi estivi. Sul terrazzo fa realizzare, in piastrelle bianche e nere, la riproduzione di un'approssimazione della sua celebre curva che riempie un quadrato, contornata da una greca (v. il grafico sul retro di copertina), di cui oggi resta purtroppo solo una fotografia.
Il 22 Novembre Peano presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la nota Sulla formula di Taylor (1892a).
1892
Nel secondo volume della sua Rivista di Matematica Peano pubblica i seguenti articoli: Sommario del libro X d'Euclide (1892c); Sopra un massimo (1892g); Esempi di funzioni sempre crescenti e discontinue in ogni intervallo (1892h); Dimostrazione dell'impossibilità di segmenti infinitesimi costanti (1892j); Sopra la raccolta di formule di matematica (1892k); Sulla definizione del limite d'una funzione (1892l); Sopra una raccolta di formule (Marzo 1892o) e Formule di matematica (1892p). Recensisce inoltre il volume Elementi di algebra elementare di Domenico Amanzio (1892d), il Traité d'Analyse di Hermann Laurent (Luglio, 1892e), il libro di Albino Nagy, Lo stato attuale ed i progressi della logica (1892m) e i Fondamenti di Geometria a più dimensioni e a più specie di unità rettilinee di Giuseppe Veronese (Agosto, 1892n). Redige infine il necrologio dell'amico e collega Enrico Novarese (1892f), scomparso prematuramente il 14 Gennaio, che era stato fra i fondatori della Rivista.
Altrettanto intensa è la rete di corrispondenze nel corso dell'anno. In una lettera a E. Cesàro del 14 Gennaio Peano discute alcune ambiguità linguistiche presenti nel Genocchi-Peano, che gli erano state segnalate dal collega napoletano, e accenna ai contributi ivi inseriti sulla formula di Taylor. Il 20 Gennaio prosegue il suo dialogo con Cesàro con una lunga e confidenziale epistola, assai interessante per i commenti sul suo insegnamento all'Università e all'Accademia militare e sui dispiaceri arrecatigli dalla sua posizione di direttore della Rivista di Matematica. Il 3 Febbraio, complimentandosi con Cesàro per l'articolo Costruzioni baricentriche, presentato per la pubblicazione sulla sua Rivista, Peano indica una possibile soluzione alternativa della questione in esso affrontata. In questo periodo intreccia anche rapporti epistolari con il matematico belga Eugène Catalan. Su temi fondazionali verte la lettera di quest'ultimo, giunta a Peano il 5 Febbraio, che sarà poi edita sulla Rivista (1894, p. 104).
Prosegue intanto sulle pagine del periodico torinesela polemica con G. Veronese che il 29 Febbraio aveva risposto alle severe critiche mosse ai suoi Fondamenti e Peano interviene a sua volta il 23 Maggio con l'articolo Breve replica al prof. Giuseppe Veronese (1892r), che chiude il dibattito.
Il 27 Marzo il matematico cuneese presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la sua nota Generalizzazione della formula di Simpson (1892q) e, nell'adunanza del 1° Maggio, l'articolo di Francesco Giudice, Sulla risolvente di Malfatti, iniziando così la lunga serie di scritti di altri autori che egli, come socio residente, propone per l'edizione negli Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino.
Le sue due ultime pubblicazioni per quest'anno riguardano temi di analisi: Sur la définition de la dérivée (1892s) e Sur le théorème général relatif à l'existence des intégrales des équations différentielles ordinaires (1892aa).
L'11 Settembre Peano si trova a Messina e, al ritorno a Torino il 25, scrive nuovamente a Cesàro, avendo saputo della sua intenzione di fondare a Napoli un giornale di matematiche, e gli propone la direzione della sua Rivista di Matematica.
Nell'Autunno è Giovanni Vailati a prendere il posto di Filiberto Castellano come assistente di Peano e importante diventerà la loro collaborazione nell'ambito della Rivista e del Formulario, soprattutto per le note storiche.
Nel Dicembre del 1892 giunge a Peano la nomina a Professore titolare di 3° classe presso l'Accademia militare.
1893
Il 4 Aprile Peano scrive a H. Schwarz commentando l'ultimo trattato di Calcolo infinitesimale, le Lezioni di Analisi infinitesimale, apparse in due volumi a Torino, presso l'editore Candeletti, che egli ha redatto per gli studenti dell'Accademia militare. La pubblicazione risale ai primi mesi dell'anno e infatti il 13 Luglio egli informa E. Cesàro che anche il secondo tomo è ormai uscito.
Il 22 Aprile Peano acquista, al prezzo di 400 lire, 2064 mq di prato accanto alla villa di Cavoretto.
Sugli Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino appare la Relazione intorno alla memoria del prof. Vincenzo Mollame "Sulle equazioni abeliane reciproche, le cui radici si possono rappresentare con x, θx, θ2x, … θn-1x" (1893a), da lui curata insieme a Enrico D'Ovidio e Corrado Segre.
Tutti i restanti lavori dell'anno sono inclusi nel terzo volume della sua Rivista di Matematica. Si tratta degli articoli: Sulla raccolta di formule (1893b), Sullo stesso soggetto (Formule di quadratura) (Febbraio, 1893c), Sul Formulario di matematica. Nota (1893g) e delle recensioni degli scritti di Nicodemo Jadanza, Una difesa delle formole di Simpson, ed alcune formole di quadratura poco note (1893d), di Emmanuel Carvallo, Sur les forces centrales (1893e) e di Alexander Ziwet, An elementary treatise on theoretical mechanics, Part I: Kinematics (1893f).
Il 17 Agosto Peano comunica a E. Cesàro l'accettazione sulla Rivista del suo intervento Su talune erronee "riflessioni" del Prof. Arminio Nobile. Il 15 Ottobre, informando il collega della risposta di Nobile, lo sollecita a collaborare alla compilazione del Formulario di Matematica.
Risale al 4 Novembre il primo contatto epistolare di Peano con la comunità matematica americana: interpellato da David Eugene Smith, Peano invia una dettagliata relazione dei suoi compiti didattici, confrontando fra loro gli insegnamenti di Analisi che impartisce all'Università e all'Accademia militare. Egli paleserà le sue riflessioni sulle modalità di conduzione del corso di Calcolo infinitesimale, sull'utilità dell'antico insegnamento di Introduzione al Calcolo e sull'opportunità di una maggiore circolazione delle informazioni sui programmi anche in una lettera a Cesàro del 5 Gennaio 1894.
1894
Il 21 Gennaio Peano è eletto membro del Consiglio Direttivo del Circolo Matematico di Palermo per il triennio 1894-96, con 108 voti a favore.
All'inizio dell'anno risale, molto probabilmente, l'avvio della sua corrispondenza con Gottlob Frege, che proseguirà fino al 7 Gennaio 1903. Il 30 Gennaio Peano ringrazia il filosofo e matematico tedesco per l'invio di alcune sue note, senza nascondergli le difficoltà che ancora incontra nella lettura del suo simbolismo.
La pubblicazione delle Notations de Logique Mathématique (1894g) segna l'esordio ufficiale della pubblicazione del Formulario di Matematica, un'impresa cui Peano dedicherà negli anni a venire la maggior parte delle sue energie. Un estratto di quest'opuscolo è donato in omaggio all'Accademia delle Scienze di Torino l'11 Febbraio.
Per diffondere l'ambizioso progetto del Formulario e richiedere la collaborazione degli studiosi e degli appassionati di matematica Peano intensifica i suoi contatti: invia le Notations de Logique a G. Frege (10 Febbraio); presenta la nota Notions de logique mathématique (1894h) al 23° Convegno dell'Association Français pour l'Avancement des Sciences, che si tiene a Caen fra il 2 e il 14 Agosto e il 25 Agosto illustra a F. Klein l'iniziativa e torna a parlargliene il 19 Settembre. Il 6 Novembre, commentando con C. Jordan i contenuti della sua celebre nota sulle equazioni differenziali (1890f), sottolinea l'utilità della logica nello studio dei problemi di analisi ed espone al matematico francese le caratteristiche del Formulario.
Con una lettera del 15 Maggio si apre la lunga, ricca e intensa corrispondenza fra Peano e Giovanni Vacca, uno dei più attivi collaboratori del Formulario, soprattutto per le parti di Storia delle matematiche. Il carteggio proseguirà fino al 1932.
L'attività connessa alla redazione del Formulario e all'edizione della Rivista di Matematica assorbe quasi interamente Peano. Nel quarto volume del periodico da lui diretto appaiono i suoi articoli Sulla parte V del Formulario: "Teoria dei gruppi di punti" (Marzo 1894b); Sui fondamenti della Geometria (1894c); Un precursore della logica matematica (1894e); il necrologio di Eugène Catalan (1894d) e la recensione dell'opera di Hermann Grassmann, Gesammelte mathematische und physicalische Werke (1894f).
Nel corso dell'anno Peano inizia parallelamente la sua assidua collaborazione alla rivista L'intermédiaire des mathématiciens di C.-A. Laisant e E. Lémoine, pubblicando le Réponse n. 14 (1894i) e n. 102 (1894j). Sui Monatshefte für Mathematik und Physik rivendica invece, con la nota Sur les systèmes linéaires (1894a), la sua priorità, nei confronti di E. Carvallo, a proposito della definizione di esponenziale di un operatore.
Nell'Autunno del 1894 Cesare Burali-Forti subentra a Giovanni Vailati in qualità di assistente di Peano sulla cattedra di Calcolo infinitesimale.
Il 2 Novembre Peano invia a Oreste Mattirolo, Rettore dell'Università di Torino, il Programma di un corso libero di Geometria superiore per l'anno 1894-95, dedicato ai metodi del calcolo geometrico di Hermann Grassmann e di William Rowan Hamilton.
1895
È dato alle stampe il Formulaire de Mathématiques, tome 1 publié par la Rivista di matematicaV (1895aa) che conoscerà cinque edizioni, le prime quattro in francese e l'ultima, nel 1908, in latino sine flexione. Con estrema rapidità Peano ne licenzia i fascicoli: Formulaire de Mathématiques. Préface (1895d); Logique mathématique (1895e), scritto con Giovanni Vailati; Opérations algébriques (1895f), redatto in collaborazione con Filiberto Castellano; Arithmétique (1895g), curato insieme a Cesare Burali-Forti e Classes de nombres (1895h). Nel Febbraio esce anche sulla Rivista di Matematica l'Addenda Notazioni (oltre a quelle già in uso) (1895i).
Il 28 Febbraio Peano è nominato Cavaliere dell'ordine della Corona d'Italia.
Nel frattempo scoppia una vivace polemica con Vito Volterra. Lo scontro sorge dalla pubblicazione, sulla Rivista di Matematica, dell'articolo Il principio delle aree e la storia d'un gatto (Gennaio, 1895k) e dalla nota Sopra lo spostamento del polo sulla terra (1895b), presentata all'Accademia delle Scienze di Torino nella seduta del 5 Maggio. Peano affronta qui, con i metodi vettoriali, un problema che Volterra aveva studiato da tempo e attacca il procedimento di integrazione usato dal collega. Il 23 Maggio egli interviene ancora sulla questione, presentando all'Accademia delle Scienze di Torino la nota Sul moto del polo terrestre e nella stessa seduta Volterra legge un suo lavoro sullo stesso tema. Con un telegramma inviato a V. Volterra il 27 Maggio Peano riconosce di aver commesso un errore nell'impostazione del problema, ma tornerà sull'argomento in una lettera del 30 Maggio, cui Volterra risponde il 2 Giugno. La polemica proseguirà nello scritto Sul moto di un sistema nel quale sussistono moti interni variabili (1895b), presentato all'Accademia dei Lincei da Eugenio Beltrami. Lo scontro fra Volterra e Peano, dai toni assai duri, si chiude definitivamente con nota di Peano Sul moto del polo terrestre (1896c) ancora presentata ai Lincei da F. Brioschi.
Per diffondere il simbolismo logico il matematico piemontese pubblica intanto sull'American Journal of Mathematics il saggio Sur la définition de la limite d'une fonction. Exercice de logique mathématique (1895c) e sugli Annali di Matematica pura e applicata il lavoro Sulla definizione di integrale (1895n), che, successivamente tradotto, sarà inserito in appendice all'edizione tedesca del Genocchi-Peano (1899x).
La logica e il Formulaire sono al centro delle sue corrispondenze. Il 3 Aprile invia a E. Cesàro una copia della prima edizione del trattato, rinnovandogli l'invito a collaborare all'impresa. In questo periodo egli intreccia anche un carteggio con Georg Cantor, il quale registra nei suoi taccuini 10 sue missive inviate a Peano fra il 6 Aprile 1895 e il 10 Gennaio 1896, e otto risposte del matematico cuneese. Il 6 Aprile Cantor ringrazia per l'invio del Formulario e concede l'autorizzazione a pubblicare sulla Rivista di Matematica una sua lettera a Giulio Vivanti che in effetti apparirà nel numero di Agosto. Il 27 Luglio Cantor si rallegra dell'intenzione di stampare una traduzione italiana dei suoi Beiträge, chiedendo a Peano la sua opinione su G. Veronese. Il giorno seguente invia una seconda lettera aperta, da pubblicare sulla Rivista, in merito al libro di Veronese sui fondamenti della geometria. Rispondendo a Peano, l'8 Agosto, Cantor si impegna a spedire i Beiträge. Il 18 Settembre riceve la notizia che sarà Francesco Gerbaldi, uno dei collaboratori della scuola torinese di logica, a tradurre il suo saggio. Due mesi più tardi, il 3 Novembre, a lavoro ultimato, vengono spedite a Cantor le bozze, che il 29 dello stesso mese le rispedisce corrette. Il 6 Dicembre riscrive a Peano chiedendogli cento estratti del suo articolo.
Il 14 Agosto Peano comunicato a G. Frege la sua intenzione di pubblicare sulla Rivista di Matematica una recensione dei Grundgesetze der Arithmetik. Nel quinto volume del periodico apparirà in effetti l'esame dell'opera (Luglio, 1895l), accanto alle recensioni delle Lezioni di meccanica razionale di Filiberto Castellano (1895j) e all'Elenco bibliografico sull'"Ausdehnungslehre" di H. Grassmann (1895m). L'invio a Frege della Rivista è confermato nella lettera del 29 Ottobre in cui il matematico cuneese si sincera con Frege del suo ricevimento.
Peano inizia a partecipare alle attività dell'Associazione Mathesis, che è fondata nel Settembre del 1895 da Rodolfo Bettazzi, Aurelio Lugli e Francesco Giudice, con sede a Torino.
Il 12 Novembre è edita sui Rendiconti del Circolo matematico di Palermo la nota di Peano Sul pendolo di lunghezza variabile (1896a). Il 28 Novembre, con Enrico D'Ovidio Peano presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la Relazione sulla memoria del prof. Francesco Giudice intitolata "Sull'equazione del 5° grado" (1895r).
Due ulteriori pubblicazioni del matematico cuneese sono proposte all'Accademia delle Scienze di Torino: si tratta delle note Estensione di alcuni teoremi di Cauchy sui limiti (1895a) e Trasformazioni lineari dei vettori di un piano (9 Dicembre, 1895q). Nell'anno, infine, è apparsa una lettera aperta di Peano ai redattori dei Monatshefte für Mathematik und Physik (1895p) e la sua Réponses n. 288 a un quesito di E.-N. Barisien, apparsa sull'Intermédiaire des mathématiciens (1895s).
Il 1 Dicembre 1895 Peano riceve la promozione a professore ordinario di Calcolo infinitesimale presso l'Università di Torino. Il Regio Decreto di nomina reca la data 15 Dicembre 1895.
1896
Risale al 10 Gennaio l'ultima lettera pervenuta di G. Cantor a Peano, in cui egli chiede al collega italiano una sua fotografia, augurandosi che si sia ripreso dalla pleurite che l'aveva colpito.
Il 5 Aprile Peano domanda notizie a G. Frege a proposito della sua promessa conferenza avente per oggetto il simbolismo matematico. Quest'ultimo risponde nel Settembre, chiedendo di pubblicare sulla Rivista un'epistola in risposta ad alcune critiche mosse da Peano nella sua recensione dei Grundgesetze der Arithmetik. Il matematico cuneese replica il 3 e il 14 Ottobre, soffermandosi a lungo sulla sua ideografia e sul progetto del Formulario.
Fra il 16 Maggio e il 2 Giugno Peano è a Roma. Al suo rientro a Torino, il 21 Giugno, presenta all'Accademia delle Scienze il Saggio di calcolo geometrico (1896d), che verrà successivamente tradotto in tedesco e in polacco (1897t, 1897u).
Durante le vacanze estive, a Luglio, compie un'escursione sul monte Rosa. I coniugi Peano si trasferiscono intanto in un appartamento in via Barbaroux 4, al quarto piano.
Nel corso dell'anno il logico piemontese interviene ben cinque volte su L'intermédiaire des mathématiciens pubblicando le Réponse n. 6 (C. Jordan). Courbe dont l'aire soit indéterminée 0(1896e); n. 101 (J. Voyer). Sur l'équilibre d'un fil pesant et inextensible (1896f); n. 362 (C. Hermite). Conditions pour que deux substitutions transforment en elles-mêmes une forme quadratique ternaire (1896g); n. 80. Sur un invariant commun à deux courbes (1896h) e n. 719. (Lausbrachter) (1896i).
Nell'Autunno Angelo Ramorino è nominato assistente di Peano alla cattedra di Calcolo infinitesimale e anch'egli collaborerà alle attività intraprese dalla scuola di logica.
In Ottobre Peano intreccia una corrispondenza con il filosofo francese Louis Couturat, che diventerà uno strenuo fautore della logica matematica, contribuendo a diffonderla in Francia. Il carteggio fra i due proseguirà fino al 23 Febbraio 1910.
Ringraziando E. Cesàro per l'omaggio delle sue Lezioni di Geometria intrinseca, il 5 Novembre Peano dichiara di essere completamente assorbito dalla stampa del tomo II del Formulario, di cui era già apparsa l'Introduction (1896b).
1897
Il 4 Aprile Peano presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la nota Studii di logica matematica (1896j). Il 10 Aprile, mentre è assorto nella redazione del Formulario, si giustifica con Jacob Lüroth per il ritardo nella pubblicazione del sesto volume della Rivista di Matematica.
Sui Rendiconti dell'Accademia dei Lincei appare il suo articolo Sul determinante wronskiano (1897a), presentato da Salvatore Pincherle il 20 Giugno.
Fra il 9 e l'11 Agosto Peano partecipa a Zurigo al Primo Congresso Internazionale dei Matematici, dove svolge la funzione di Vicepresidente della sezione di Aritmetica e Algebra e tiene l'11 Agosto una delle conferenze magistrali sul tema Logica matematica. Il testo dell'intervento è riassunto nei Verhandlungen des Ersten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Zürich vom 9 bis 11 August 1897, herausgegeben von Ferdinand Rudio (1898g). Durante tale conferenza Peano distribuisce in omaggio gli estratti del Formulaire de Mathématiques, t. II § 1, "Logique mathématique" (1897b), di cui commenta la struttura ed alcune proposizioni. Egli incontra a Zurigo anche E. Schröder, di cui ascolta con interesse la comunicazione Über Pasigraphie, ihren gegenwärtigen Stand und die pasigraphische Bewegung in Italien, che poi recensirà sulla Rivista di Matematica (1898h).
Nell'autunno Giovanni Vacca è nominato assistente alla cattedra di Calcolo infinitesimale e manterrà tale incarico fino al 1902.
Nell'adunanza del 21 Novembre Peano presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la sua nota Generalità sulle equazioni differenziali ordinarie (1897c) e redige insieme a Enrico D'Ovidio e Corrado Segre la Relazione sulla memoria "I principii della geometria di posizione composti in sistema logico-deduttivo" del prof. Mario Pieri (1897d), che sarà edita negli Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino.
1898
I coniugi Peano si trasferiscono in un appartamento in via Barbaroux 6.
In Gennaio appare un nuovo volume della Rivista di Matematica, che contiene fra l'altro, la Risposta di Peano (1898b) alla Lettera di G. Frege stampata alle pp. 53-59, in cui confluisce il confronto delle loro rispettive ideografie, oggetto del dialogo epistolare degli ultimi mesi.
Insieme ai colleghi Enrico D'Ovidio, Rodolfo Bettazzi e Cesare Burali-Forti Peano partecipa alle attività dell'Associazione Mathesis e nelle sedute del 21-22 Febbraio interviene sulla questione 8, che riguarda la Distribuzione del programma di aritmetica razionale nel Ginnasio, nel Liceo e nell'Istituto tecnico.
In Aprile Peano acquista al costo di 407 Lire uno dei torchi da stampa della tipografia di F. Faà di Bruno, che utilizzerà per la composizione del Formulario.
Nell'adunanza del 13 Marzo all'Accademia delle Scienze di Torino egli presenta la sua nota Analisi della teoria dei vettori (1898c). La sua attenzione è però in questo periodo rivolta quasi esclusivamente all'edizione del Formulaire de mathématiques, di cui è dato alle stampe il t. II, § 2 [Aritmetica] (9 Agosto, 1898f). La Rivista di Matematica, come di consueto, ospita le aggiunte e correzioni al trattato, negli articoli Sulle formule di logica (F2 § 1) (1898a); Additions et corrections à F2 (1898d) e Sul § 2 del Formulario, t. II: Aritmetica (1898e). Nel corso dell'anno Peano sceglie di introdurre il Formulario come libro di testo universitario nell'insegnamento di Calcolo infinitesimale.
Durante il primo congresso della Mathesis, che si tiene a Torino dal 9 al 14 Settembre, oltre a svolgere con Corrado Segre le funzioni di Vicepresidente, Peano tiene la conferenza Conversazioni sul Formulario di Matematica e interviene sul simbolismo matematico in seguito alla relazione di Corrado Ciamberlini. Il giorno successivo Luigi Certo presenta una proposta di modifica dei programmi universitari e insiste sull'opportunità di istituire un corso di Logica obbligatorio per gli studenti che si laureano in Matematica.
Anche durante il 1898 Peano collabora assiduamente alla rivista L'intermédiaire des mathématiciens con le Réponses n. 1132. (A. Goulard) (1898i); n. 1185 (1897, 268). (H. Braid) (1898j); n. 1297 (V 1a) (1898k) e n. 1208 (1896, 5). (G. De Rocquigny) (1898l).
Il 2 Novembre invia a Giovanni Vacca una cartolina postale con una particolare forma di stenografia da lui inventata e descritta nella nota La numerazione binaria applicata alla stenografia (1898m), che presenta all'Accademia delle Scienze di Torino nell'adunanza del 13 Novembre. In questo lavoro egli illustra la macchina da stampa, da lui ideata sfruttando il sistema binario, per stenografare più rapidamente. Il prototipo di questo apparecchio, di cui egli costruì almeno due esemplari, come risulta dal confronto fra le tre cartoline postali vergate con la sua stenografia, risulta oggi perduto.
Il 26 Dicembre Peano interviene alla Mathesis di Torino sul modo migliore di introdurre gli irrazionali nell'istruzione secondaria.
1899
Nelle sedute dell'Associazione Mathesis del 26 Febbraio e del 28 Marzo 1899 Peano torna a discutere l'esposizione didattica della teoria dei numeri irrazionali.
La stampa della seconda edizione del Formulaire de Mathématiques, publié par la Revue de Mathématiques. t. II, n. 3. Logique mathématique. Arithmétique. Limites. Nombres complexes. Vecteurs. Dérivées. Intégrales (1899b), terminata durante l'Estate, lo assorbe completamente. Oltre ad essa, infatti, egli pubblica solo una Lettera a Lazzeri, apparsa sul Periodico di Matematica (1899a), un breve articolo Sui numeri irrazionali, edito nel sesto volume della Rivista di Matematica, nel fascicolo di Maggio, e la Réponses n. 1374. (G. Berdellé), sulle pagine de L'intermédiaire des mathématiciens (1899d).
Fra il 20 Settembre e il 10 Ottobre Peano trascorre un periodo di vacanza a Napoli.
In una lettera del 10 Dicembre commenta con E. Cesàro la seconda edizione del Formulario e gli rinnova l'invito a collaborare con aggiunte e integrazioni.
1900
Avendo saputo da Cesàro della sua intenzione di lasciare Napoli, il 20 Gennaio gli propone uno scambio di residenza e il trasferimento di cattedra, dichiarandosi "pronto a partire subito" per Napoli per "fare il cambio provvisoriamente". Cesàro declina l'invito, ma prega l'amico di raccogliere informazioni sulle condizioni economiche dei docenti universitari negli Stati Uniti. Il 12 Febbraio Peano gli inoltra la risposta che ha ricevuto dall'americano Alexander MacFarlane, cui si è rivolto per sondare le possibilità di un trasferimento di Cesàro in America.
Dal 3 Aprile Peano è a Parigi per visitare l'Esposizione Universale.
Il 19, al ritorno a Torino, comunica a Cesàro di aver ricevuto un'ulteriore risposta da Alexander Ziwet in merito alle opportunità di lavoro per i matematici puri negli Stati Uniti. Il 26 Aprile confida a Cesàro di essere ancora incerto se partecipare o meno ai Congressi internazionali che si terranno nella capitale francese nell'Estate. Chiamato a far parte del Comité de patronage del Congresso di Filosofia di Parigi, fin dall'autunno del 1899, accanto ad H. Poincaré, P. Painlevé, J. e P. Tannery, Peano partecipa effettivamente al congresso (1-5 Agosto), presentando la comunicazione Les définitions mathématiques (1901a), che sarà poi tradotta in polacco (1902t). Conosce anche, in questa occasione, Russell che annota nella sua autobiografia la svolta importante avuta sulla sua vita intellettuale dall'incontro con lui "che era sempre più preciso di tutti gli altri e che in tutte le discussioni risultava invariabilmente il più brillante." La 'falange' degli allievi di Peano, Burali-Forti, Pieri, Padoa, Vailati e Vacca, domina il congresso e dalle loro relazioni traspare l'orgoglioso senso di appartenenza ad una Scuola.
Peano si trattiene nella capitale francese anche per il Secondo Congresso Internazionale dei Matematici che ha luogo dal 6 al 12 Agosto.
Tutte le pubblicazioni in quest'anno vedono la luce sulle pagine del settimo volume della sua Rivista di Matematica: il saggio Formules de logique mathématique (1900a), datato 20 Luglio, che costituisce una sintesi delle sue ricerche in questo settore, e le Additions au Formulaire (1900b).
1901
In data 1° Gennaio è licenziata la stampa della terza edizione del Formulaire de Mathématiques (1901b), per i tipi di Bocca - Clausen. La Rivista di Matematica ospita come di consueto le Additions et corrections au Formulaire, t. III (Luglio, 1901d) redatte da Peano, E. Cantoni, C. Ciamberlini, G. Eneström, A. Padoa, A. Ramorino, O. Stolz e G. Vacca e le Additions au Formulaire (1901i) di Peano, A. Arbicone, T. Boggio, E. Cantoni, F. Castellano e G. Vacca. Queste ultime recano la data 4 Dicembre.
Il 12 Gennaio Peano rinnova a E. Cesàro l'invito a collaborare al Formulario, di cui gli spedisce la recente edizione.
Fra Febbraio e Marzo il matematico piemontese compie un viaggio di piacere a Roma e a Tunisi. Il 19 Marzo comunica a Bertrand Russell che è stata accettata per la pubblicazione sulla Rivista di Matematica la sua memoria Sur la logique des relations avec des applications à la théorie des séries.
Il 25 Aprile Peano è insignito del titolo onorifico di Cavaliere dell'ordine dei SS. Maurizio e Lazzaro.
Il 16 Maggio 1901 rassegna volontariamente le dimissioni dall'incarico di docente di Analisi infinitesimale presso l'Accademia militare, desiderando avere più tempo per dedicarsi al Formulario e alla "corrispondenza con gli amici". La decisione è accolta dall'Accademia con rammarico, dal momento che il nome di Peano, stimato in Italia e all'estero, dava lustro all'intera istituzione.
Nel 1901 Peano è eletto Segretario nazionale per l'Italia dell'Associazione internazionale per lo sviluppo degli studi sui quaternioni e i sistemi matematici connessi.
Risale al 4 Giugno il suo primo lavoro di matematica attuariale, intitolato Studio delle basi sociali della Cassa Nazionale Mutua Cooperativa per le Pensioni (1901c, seconda ed. 1906), scritto in collaborazione con Prospero Chionio-Nuvoli, Achille Ferrari-Pietrogiorgi, Giovanni Battista Maffiotti e Mario Vicarj. Il 10 Agosto egli redige, insieme a Prospero Chionio-Nuvoli, Achille Ferrari-Pietrogiorgi, G.B. Maffiotti e Mario Vicarj, una nuova Relazione della Commissione per lo studio delle basi sociali della Cassa Nazionale Mutua Cooperativa per le Pensioni (1901g).
Nel Luglio del 1901 Peano invia alla redazione del Bollettino di matematiche di A. Conti una Lettera al Direttore (1901e) e cura per la sua Rivista di Matematica la recensione del volume di O. Stolz e I.A. Gmeiner, Theoretische Arithmetik, I. Leipzig, Teubner a. 1900, che reca la data 15 Luglio 1901.
Dal 17 al 22 Agosto Peano partecipa a Livorno al II congresso dell'Associazione Mathesis dove conosce personalmente Alberto Conti e presenta, il 18 Agosto, il suo Dizionario di logica matematica (1901h), un estratto del quale è pubblicato a Livorno, dalla Tipografia Giusti. Il saggio è ristampato successivamente, con il titolo Dizionario di matematica. Parte I, Logica Matematica (1901j), nella Rivista di Matematica, con data 4 Dicembre, ed infine come estratto a Torino, presso l'editore Gerbone (9 Dicembre).
In Settembre Peano si reca a Londra per un viaggio di piacere e soggiorna per una breve sosta anche a Parigi.
1902
Il 20 Marzo Peano acquista altri due prati nei pressi della sua villa di Cavoretto.
I lavori di quest'anno riguardano la matematica attuariale e la didattica della matematica, con la sola eccezione della nota La geometria basata sulle idee di punto e distanza (1903a), presentata all'Accademia delle Scienze di Torino nell'adunanza del 16 Novembre.
Gli studi sulle rendite vitalizie confluiscono in una Memoria apparsa sul Bollettino di notizie sul credito e sulla previdenza (1902a) e nella Seconda relazione della commissione per lo studio delle basi sociali della Cassa Mutua Cooperativa per le Pensioni con sede in Torino (1902d), curata con Prospero Chionio-Nuvoli, Achille Ferrari-Pietrogiorgi, G. B. Maffiotti e Mario Vicarj e datata 12 Maggio. Per rispondere ad alcune critiche mosse ai suoi precedenti risultati Peano ritornerà sul tema nella nota A proposito di alcuni errori contenuti nel disegno di legge sulle associazioni tontinarie presentato al Senato (1902f) del 12 Dicembre.
Desiderando mettere a servizio dell'istruzione secondaria i nuovi metodi logico matematici, di cui ha apprezzato l'utilità nell'attività di ricerca e nella pratica di insegnamento, Peano pubblica il manuale per insegnanti Aritmetica generale e Algebra elementare (1902b). Per l'uso esteso del simbolismo ideografico, per la selezione degli argomenti affrontati e per la volontà di limitare il più possibile il ricorso all'intuizione, il testo è al centro di vivaci dibattiti, che coinvolgono docenti universitari e insegnanti. Su una problematica pedagogica verte anche la sua lettera aperta Sur les nombres imaginaires (1902e) del 23 Maggio, pubblicata nel fascicolo del 15 Giugno del Bulletin de Sciences Mathématiques et Physiques élémentaires. Di particolare interesse appare infine sull'ottavo volume della Rivista di Matematica la recensione di Peano del trattato di Calcolo infinitesimale di Cesare Arzelà, significativamente intitolata Confronto col formulario (1902c). Essa reca la data 13 Marzo e presenta un dettagliato esame comparativo fra i contenuti del manuale di Arzelà e i paragrafi di Calcolo differenziale ed integrale del Formulaire.
La pubblicazione del volume The Principles of Mathematics di Bertrand Russell è salutata da Peano con particolare entusiasmo e nella sua lettera al collega inglese del 27 Maggio egli afferma che è destinata a segnare un'epoca nella filosofia della matematica.
1903
Peano dà alle stampe il Formulaire mathématique, édition de l'an 1902-03 (tome IV de l'édition complète) (1903f). Il 1° Aprile lo invia a E. Cesàro, asserendo che l'edizione è "sufficientemente completa, da potersi considerare come definitiva".
Una chiara testimonianza dell'utilizzo della logica matematica e del suo Formulario nell'insegnamento di Calcolo infinitesimale svolto dal matematico cuneese negli a.a. 1902-04 è offerta da un volume di Lezioni di Calcolo infinitesimale, a cura dello studente Igino De Finis (1904d).
Il 18 Aprile Peano consegna alle stampe il saggio Sul massimo della pensione a distribuirsi dalla Cassa (già Nazionale) Mutua Cooperativa per le Pensioni con sede in Torino (1903b), di cui discute i dettagli matematici con E. Cesàro nella lettera del 28 Aprile.
Risale al 20 Maggio l'ultima cartolina scritta da Peano a Giovanni Vacca utilizzando la macchina stenografica, basata sul sistema di numerazione binario, da lui inventata nel 1898.
Reca invece la data 27 Agosto, giorno del suo compleanno, il primo articolo di Peano sulla lingua internazionale ausiliaria, intitolato I. De latino sine flexione. II. Principio de permanentia (1903c). Apparso come estratto stampato a Cavoretto, il saggio è riedito il 20 Ottobre nella Rivista di Matematica (1903d e 1903e). Peano si era avvicinato al problema della creazione di una lingua internazionale volta a facilitare la comunicazione e la collaborazione fra i popoli fin dai congressi internazionali di Parigi del 1900, sollecitato più volte su questo tema da Louis Couturat.
L'ultima pubblicazione di Peano per il 1903 è la Réponses n. 2549 [V 9], apparsa su L'intermédiaire des mathématiciens (1903g).
1904
Nella prima Adunanza dell'Accademia delle Scienze di Torino, il 3 Gennaio, Peano presenta la nota Il latino, quale lingua ausiliare internazionale (1904a). Egli non si limita ad approfondire il tema di una lingua utile per gli scambi scientifici fra studiosi di nazioni diverse, per questo detta 'Interlingua', ma compie anche accurate indagini di filologia comparata e di glottologia, che sfociano nell'edizione del Vocabulario de latino internationale, comparato cum Anglo, Franco, Germano, Hispano, Italo, Russo, Graeco et Sanscrito (1904c), licenziato per la stampa il 1 Settembre.
Dal 4 e all'8 Settembre Peano partecipa al Secondo Congresso internazionale di Filosofia, che si svolge a Ginevra e interviene più volte nei dibattiti. La comunicazione di Pierre Boutroux sui rapporti fra logica e matematica e sull'utilità della prima nell'ambito della seconda è in particolare all'origine di una vivace polemica su rigore ed intuizione, che divamperà fra il 1905 e il 1907 sulla Revue de Métaphysique et de Morale e coinvolgerà matematici e filosofi del calibro di Henri Poincaré, Emile Borel, Louis Couturat, Maximilien Winter, Hermann Laurent, Jacques Hadamard, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, Giuseppe Peano, Mario Pieri, Giovanni Vacca, Giovanni Vailati, Benedetto Croce e Giovanni Papini.
Subito dopo il ritorno da Ginevra egli riparte per Roma, dove si trova il 18 Settembre, in qualità di commissario nei concorsi a cattedra per i ginnasi.
Un'eco dei dibattiti sui fondamenti della matematica, assai accesi in Europa in questo periodo, emerge anche dal rapporto che Peano redige per incarico dell'Accademia delle Scienze di Torino sulle ricerche del suo amico e collaboratore Pieri: Sur les principes de la Géométrie selon Mario Pieri (1904b).
1905
In una lunga lettera a E. Cesàro del 25 Gennaio Peano annuncia di avere avviato la composizione del tomo V del Formulario.
Dal 21 al 22 Aprile egli partecipa al IV Congresso dell'Associazione Mathesis, che si tiene a Milano e interviene nella discussione sui numeri immaginari (cfr. Bollettino della Mathesis, 9, 5-6, 1904-05, pp. 63-64).
Il 12 Luglio è eletto socio corrispondente dell'Accademia dei Lincei.
Il suo interesse per le problematiche di matematica attuariale si ripresenta nel Progetto di una Cassa di riassicurazione e di una Cassa di soccorso a favore dei Soci della Cassa M. C. Italiana per le Pensioni in cui compare l'articolo Lettera-Progetto, in data 18 Luglio, corredato degli Allegati A: I calcoli sui quali è basato il Progetto Peano e D: Tabelle dimostrative (1905c). Reca invece la data 3 Novembre la Prefazione alla seconda edizione del suo Studio delle basi sociali della Cassa Mutua Cooperativa Italiana per le pensioni (1906i). L'ultimo studio su temi di matematica finanziaria apparirà nel 1906: si tratta della comunicazione Istituzioni mutualistiche applicabili alla classe degli Insegnanti medii (1906j), presentata da Peano al Quinto congresso nazionale insegnanti scuole medie.
Il 23 Luglio il matematico cuneese compie un viaggio a Liegi, in occasione dell'Esposizione Universale e sosta qualche giorno anche ad Amsterdam.
Nell'Autunno Giuliano Pagliero subentra a Giovanni Vacca come suo assistente sulla cattedra di Calcolo infinitesimale e manterrà tale incarico fino al 1920. Anch'egli sarà un attivo collaboratore di Peano, sia in ambito matematico che linguistico.
I coniugi Peano si trasferiscono nuovamente in via Barbaroux 4.
1906
Il 21 Gennaio Peano invia all'Accademia dei Lincei la nota Sulle differenze finite (1906a), che inaugura la sua recente elezione a socio.
Il matematico cuneese, che è in contatto epistolare con P. Boutroux, L. Couturat e B. Russell, segue con attenzione la polemica fra logicisti e intuizionisti che sta divampando sulla Revue de Métaphysique et de Morale. Nonostante i reiterati inviti di Couturat a rispondere alle critiche mosse da H. Poincaré alla logica matematica e al Formulario, egli si mantiene tuttavia a latere del dibattito. Il suo unico intervento appare sui Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, nella nota Super theorema de Cantor-Bernstein (1906b). Datata 31 Marzo e presentata nella seduta dell'8 Aprile, essa uscirà anche in latino sine flexione sulla Rivista di Matematica, corredata da un'Additione del 23 Agosto (1906e). Il contenuto di quest'articolo, denso di riflessioni sul tema delle antinomie della teoria degli insiemi, sull'assioma di scelta, sui rapporti fra logica e matematica, sul ruolo dell'intuizione e sul problema della definibilità, era stato da lui comunicato a B. Russell nelle lettere del 16 Febbraio e del 24 Luglio.
A temi fondazionali d'avanguardia è dedicata anche una parte del Corso libero di Logica Matematica, il cui programma è inviato da Peano al Rettore dell'Università di Torino il 20 Marzo.
Pur essendosi sempre astenuto dalla 'politica rumorosa', in occasione dello sciopero delle operaie del cotonificio Bass di Torino, cui era stato vietato di riunirsi, il 6 Maggio Peano invita le scioperanti ad incontrarsi nella sua villa a Cavoretto, manifestando così apertamente le sue simpatie socialiste. Il quotidiano torinese La Stampa pubblica il 7 Maggio un curioso resoconto della Scampagnata alla villa Peano.
Mentre in Italia ferve il dibattito sull'utilizzo degli Elementi di Euclide nell'insegnamento secondario, Peano pubblica nel numero di Maggio-Giugno del Bollettino di Matematica l'articolo Sul libro V di Euclide (1906c). Di matrice didattica è anche la sua lettera aperta del 15 Luglio Sur la convergence absolue des séries et sur un développement en série entière. (A propos des articles de MM. Carvallo et Jamet) inviata alla redazione de L'Enseignement Mathématique.
Parallelamente all'attività scientifica Peano coltiva l'interesse per l'Interlingua e dal 25 Agosto al 5 Settembre partecipa a Ginevra al congresso degli esperantisti, dove incontra il fondatore del movimento Ludovik Lejzer Zamenhoff. Il giorno prima della partenza, il 24 Agosto, aveva concluso la redazione delle Notitias super lingua internationale per la sua Rivista di Matematica (1906f).
Il 16 Settembre è nuovamente in viaggio nel Meridione d'Italia, dove trascorre il resto del mese, visitando Modena e i collegi militari di Roma (20-25 Settembre) e di Napoli (dal 21 Settembre alla fine del mese).
Nell'Autunno del 1906 è dato alle stampe a Torino, presso l'editore Bocca, il Formulario mathematico Editio V, Indice et Vocabulario, (Proba de 100 exemplare) (1906g) che sarà completato nel 1908, data dell'ultima edizione. Con la stampa dell'ottavo volume, relativo agli anni 1902-06, si interrompe anche la pubblicazione della Rivista di Matematica, che registrerà solo un ulteriore fascicolo nel 1908 con la prima parte dell'articolo di Michele Cipolla, Specimen de calculo arithmetico-integrale.
1907
A Gennaio Peano si reca a Zurigo per studiare la struttura del locale Politecnico (cfr. lettera a M. Pieri del 18 Gennaio).
L'unica pubblicazione di quest'anno è una Lettera a Sebastiano Catania del 10 Febbraio, apparsa su Il Pitagora di G. Fazzari (1907a).
Nel Settembre il matematico cuneese si reca a Parma per partecipare al Primo Congresso della Società Italiana per il Progresso delle Scienze.
In Ottobre è a Parigi, dove presenzia ai lavori della Délégation pour l'Adoption d'une Langue Internationale (DLAI), iniziati al Collège de France il 15 Ottobre ed egli si trattiene nella capitale francese fino al 19 Ottobre.
1908
Dal 6 all'11 Aprile Peano partecipa al IV Congresso Internazionale dei Matematici, che si svolge a Roma e, pur non presentando alcuna comunicazione, interviene nei dibattiti, in particolare in quello che segue la conferenza di E. Borel sull'insegnamento della Matematica nelle scuole secondarie francesi. In questa circostanza incontra Ernst Zermelo, con cui intrattiene un'amichevole conversazione.
Nel mese di Giugno esce il Formulario Mathematico, Editio V. (tomo V de Formulario completo) (1908a). Sui suoi due esemplari, attualmente conservati a Milano, si trovano numerose annotazioni autografe, correzioni e integrazioni che mostrano la sua intenzione di curare un'ulteriore edizione di quest'enciclopedia.
Nei giorni 1-5 Settembre Peano partecipa ad Heidelberg al III Congresso internazionale di filosofia. Louis Couturat presenta in tale occasione una comunicazione sui Rapports entre la linguistique et la logique dans le problème de la langue International, da cui scaturisce un'interessante discussione nella quale intervengono, fra gli altri, Peano stesso e Paul Mansion.
Nell'a.a. 1908-1909 Peano tiene per incarico all'Università di Torino il corso di Analisi superiore.
Dal 16 al 20 Ottobre egli è a Firenze al I Congresso della Mathesis, Società italiana dei matematici, e dal 18 al 23 Ottobre al II Congresso della Società Italiana per il Progresso delle Scienze.
In Novembre esce la sua nota di linguistica Mensura de internationalitate (1908b).
Il 21 Dicembre Peano è eletto Presidente dell'Akademi Internasional de lingu universal, l'antica Accademia torinese del Volapúk. In una delle sue Sirkular, probabilmente stampata in occasione della sua elezione, compare il Curriculo de vita de G. Peano. Pubblicazioni del Prof. G. Peano (1908c). Nel 1909 l'istituzione muterà il nome in quello di Academia pro interlingua e Peano ne rimarrà Presidente a vita.
1909
Peano è incaricato dall'Accademia delle Scienze di preparare insieme a Carlo Somigliana la Relazione intorno alla memoria del Dr. Tommaso Boggio, intitolata: Sulla risoluzione di una classe di equazioni algebriche che si presentano nella Matematica finanziaria e attuariale (1909a).
L'unica pubblicazione scientifica dell'anno è la lettera aperta sulle Notations rationnelles pour le système vectoriel (1909c) del 15 Maggio, inviata a L'Enseignement Mathématique. Il 17 Maggio il matematico cuneese commemora sulla Gazzetta del Popolo della Sera, con grande mestizia, la morte di Giovanni Vailati, uno dei suoi più stretti collaboratori e amici.
Nell'a.a. 1909-1910 Peano tiene ancora per incarico il corso di Analisi superiore, in aggiunta a quello di Calcolo infinitesimale di cui è titolare. Fra le sue studentesse si distingue Margherita Peyroleri, di cui presenta all'Accademia delle Scienze di Torino, nella seduta del 13 Giugno, una nota sul calcolo delle differenze, frutto della tesi di laurea redatta dalla giovane sotto la sua direzione.
Dal 3 al 10 Agosto Peano è a Lucerna.
In Settembre è a Padova per il II Congresso della Mathesis (20-23 Settembre) e per il III Congresso della Società Italiana per il Progresso delle Scienze (20-25 Settembre). Nel viaggio verso Padova egli sosta a Brescia per vedere il "magnifico spettacolo degli areoplani" e al ritorno visita Trieste. Come emerge da una lettera a G. Vacca del 18 Settembre Peano partecipa anche al Congresso degli Esperantisti, a Barcellona.
Le energie di Peano sono ora concentrate sulla linguistica e sull'edizione del suo Vocabulario commune ad linguas de Europa (Vocabulaire commun aux langues d'Europe) (1909b).
Il 1 Novembre appare sulla rivista dell'Academia pro Interlingua Discussiones il suo primo intervento in veste di Presidente, intitolato Délégation pour l'adoption d'une langue auxiliaire internationale (1909f).
1910
Nella veste di Presidente dell'Academia pro Interlingua Peano intreccia e rinsalda una fitta rete di corrispondenze con linguisti di tutto il mondo, attestata dagli oltre quattromila documenti del suo Archivio, oggi conservato a Cuneo.
Il 20 Febbraio, insieme a Giuliano Pagliero, conclude la rassegna Discussiones in Progreso (1910d) e, con la lettera del 23 Febbraio a Peano, L. Couturat interrompe i suoi rapporti con lui e con l'A.p.I. La rottura è causata dall'atteggiamento intransigente e dogmatico del francese, divenuto un fanatico sostenitore del progetto di lingua internazionale 'Ido', diffusa nella rivista Progreso.
Il 1910 rappresenta un anno difficile nella vita di Peano: in Marzo i suoi colleghi matematici criticano i suoi metodi di insegnamento e il 23 Maggio muore sua madre, Rosa Cavallo.
Nell'adunanza del 13 Marzo Peano presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la nota della sua allieva Maria Gramegna, Serie di equazioni differenziali lineari ed equazioni integro-differenziali, redatta utilizzando il simbolismo logico-matematico. La studentessa stava svolgendo una tesi di laurea su temi di Analisi funzionale, dopo aver seguito il corso di Peano di Analisi superiore.
Nella seduta di Facoltà del 17 Marzo, i geometri algebrici Corrado Segre, Gino Fano ed Enrico D'Ovidio e il fisico matematico Carlo Somigliana attaccano duramente l'insegnamento di Analisi superiore condotto da Peano nel precedente biennio, a causa dell'impostazione logico-matematica che lo caratterizza e dell'utilizzo del Formulario di Matematica come libro di testo. Peano compie un'accorata difesa della sua metodologia didattica, della cui efficacia si è andato sempre più convincendo con il passare degli anni.
Sollevato dall'incarico, Peano si propone di tenere, per l'a.a. seguente, un corso libero di Analisi superiore, che poi non sarà effettivamente avviato. Nella seduta del 15 Novembre l'insegnamento di Analisi superiore sarà affidato a Guido Fubini.
Nella Primavera del 1908 Peano si è intanto recato in viaggio di piacere a Berlino. Ciò nonostante, come si desume dalle sue lettere a G. Vacca, F. Amodeo, R. Marcolongo e B. Russell, egli vive con grande amarezza il clima di ostilità che lo circonda a Torino. "Contro la sua volontà e con dolore" - scrive ad esempio a Vacca il 24 Aprile - egli ha "dovuto abbandonare l'insegnamento superiore".
Un'eco dello scontro avvenuto in Facoltà si avverte anche nella conferenza Sui fondamenti dell'Analisi (Giugno, 1910a), che include una vibrante apologia del rigore matematico.
Il 16 Giugno, Peano presenta all'Accademia dei Lincei la nota Sugli ordini degli infiniti (1910b), un altro tema di ricerca di Analisi superiore che egli aveva proposto al suo allievo Vincenzo Mago come oggetto della dissertazione di laurea.
A parziale consolazione delle critiche dei colleghi, giunge in omaggio al logico cuneese, nell'Autunno, il primo volume dei Principia Mathematica di B. Russell e A.N. Whitehead, definito da Peano un 'autentico capolavoro'. Il 16 Dicembre Peano ringrazia Russell per il dono di quest'opera monumentale, tutta scritta in simboli, che egli si ripropone di leggere e recensire.
1911
Nella seduta dell'8 Gennaio è presentata all'Accademia dei Lincei la nota di Peano Sulla definizione di funzione (1911b). Sul medesimo tema verte il corposo articolo Le definizioni in matematica (1911d), apparso sugli Arxivs de l'Institut de ciencies di Barcellona.
Dal 6 all'11 Aprile Peano partecipa al IV Congresso Internazionale di Filosofia, che si tiene a Bologna, presentando la comunicazione Una questione di grammatica razionale (1912a).
Nel Settembre compie un viaggio in Svizzera.
Ancora una rivista spagnola, la Revista de la Sociedad matemática española, ospita l'ultimo intervento di Peano per il 1911: la nota Vocabulario matemático Observaciones etimológicas (1911f), edita in Novembre.
1912
La prima pubblicazione dell'anno è l'articolo di linguistica De derivatione (1912f), datata 10 Febbraio.
Nella Primavera Peano compie un viaggio nel Sud d'Italia e raggiunge Siracusa il 5 Aprile. Il 14 Aprile è presentata all'Accademia dei Lincei la nota Sulla definizione di probabilità (1912g).
In Maggio redige la Préface al manuale La logique déductive dans sa dernière phase de développement (1912h) del suo allievo e collaboratore Alessandro Padoa. Nel frattempo pubblica la recensione della seconda edizione delle Lezioni di meccanica razionale (1912i) di Filiberto Castellano, un altro esponente della sua Scuola.
Sul quotidiano Torino Nuova del 17 Agosto appare l'articolo Contro gli esami (1912o), nel quale egli denuncia l'inutilità e talora la nocività delle prove di esame nell'ambito dell'insegnamento elementare, medio e universitario, sottolineando che severi devono essere invece gli esami di concorso per le professioni.
Dal 22 al 28 Agosto Peano partecipa a Cambridge al V Congresso internazionale dei matematici, dove tiene, in italiano, la conferenza Delle proposizioni esistenziali (1913h). Nonostante le sue insistenze, il latino sine flexione non è stato ammesso fra le lingue ufficiali del simposio.
Nell'adunanza del 17 Novembre Peano presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la sua nota Derivata e differenziale (1913a). Si tratta di un corposo saggio, denso di riflessioni di carattere matematico, storico e didattico sull'evoluzione dell'analisi infinitesimale e sulle strategie più efficaci da adottare nel suo insegnamento.
Il 15 Dicembre con Carlo Somigliana consegna all'Accademia stessa la Relazione sulla memoria del Dr. Gustavo Sannia, "Caratteristiche multiple di un'equazione alle derivate parziali in due variabili indipendenti" (1913b).
1913
Peano si reca in viaggio a Venezia, Vienna, Budapest e Berna.
L'8 Febbraio pubblica sulle Discussiones dell'ApI la nota Vocabulario de Interlingua (1913d). Lo stesso periodico ospita, nel corso dell'anno, due necrologi curati da Peano: in data 18 Aprile quello di Mario Pieri, uno dei suoi più stretti e brillanti collaboratori (1913f), e nel fascicolo del 30 Ottobre quello del collega americano Alexander Macfarlane (1913k).
Mentre in Italia ferve il dibattito intorno ai nuovi programmi ministeriali preparati da Guido Castelnuovo, che prevedono l'introduzione di elementi del calcolo infinitesimale nelle scuole secondarie, Peano presenta all'Accademia delle Scienze di Torino, nell'adunanza del 13 Aprile, la nota Sulla definizione di limite (1913e), in cui coglie l'occasione per ribadire l'efficacia, in sede didattica, del metodo e del simbolismo logico-matematico.
Nel frattempo sta approfondendo la lettura dei monumentali Principia Mathematica di B. Russell e A.N. Whitehead, di cui cura una dettagliata recensione (1913i) per il Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche di Gino Loria.
Il 4 Maggio è letta all'Accademia dei Lincei la sua nota Resto nelle formule di quadratura espresso con un integrale definito (1913g), il primo di una serie di lavori di analisi numerica, un tema da lui prediletto negli ultimi anni della sua attività.
Esce nel mese di Settembre la seconda edizione dei 100 exemplo de Interlingua cum vocabulario Interlingua-Latino-italiano-Français-English-Deutsch (1913l), stampati nella sua tipografia a Cavoretto.
Nella seduta dell'Accademia delle Scienze di Torino del 30 Novembre Peano presenta con Enrico D'Ovidio la Relazione sulla memoria del Dr. Vincenzo Mago, "Teoria degli ordini" (1914a), che costituisce l'ultima ricerca di Analisi superiore condotta sotto la sua direzione, in seno ai corsi del biennio 1908-1910.
1914
Nel Gennaio la rivista belga Mathesis accoglie la nota di Peano, redatta in latino sine-flexione, Residuo in formulas de quadratura (1914b).
Le restanti pubblicazioni sono di carattere interlinguistico: si tratta del necrologio di Augusto Actis (1914c), apparso nel Marzo sulla Revista universale di U. Basso, del Vocabulario de Interlingua, risalente al Maggio (1914d), e del necrologio di Louis Couturat, confluito nel fascicolo di Ottobre della stessa Revista universale.
Il 1 Agosto Peano è a Parigi per rendersi conto di persona della situazione politica, resa particolarmente difficile dallo scoppio del conflitto mondiale.
Nell'Autunno del 1914 è per la prima volta nominata una donna assistente volontaria alla cattedra di Calcolo infinitesimale: Paolina Quarra che manterrà tale incarico fino al 1918-19.
Incaricato insieme a Corrado Segre di valutare lo scritto di Cesare Burali-Forti Isomerie vettoriali e moti geometrici, ai fini della pubblicazione nelle Memorie dell'Accademia delle Scienze di Torino, Peano presenta la sua relazione favorevole il 20 Dicembre (1915a).
1915
All'inizio dell'anno appare la seconda edizione del suo Vocabulario commune ad Latino-Italiano-Français-English-Deutsch pro usu de interlinguistas (1915b).
Il 27 Febbraio Peano, insieme a Matteo Bottasso e Tommaso Boggio, istituisce a Torino le Conferenze Matematiche, rivolte agli insegnanti della scuola secondaria. Si tratta di un'iniziativa che proseguirà fino al 1925 e da cui trarranno origine libri di testo e pubblicazioni su temi connessi all'insegnamento e su questioni di calcolo numerico.
Egli intensifica in questo periodo le sue pubblicazioni di didattica della matematica: in Marzo è edito il suo intervento Sul prodotto di grandezze (1915d); nell'Aprile l'articolo Definitione de numeros irrationale secundo Euclide (1915e); al primo Settembre risale la nota Importanza dei simboli in matematica (1915j e 1915t) e in Dicembre appare lo scritto Le definizioni per astrazione (1915k).
Peano prosegue anche le ricerche sulle approssimazioni numeriche e il 21 Febbraio presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la nota Resto nella formula di Cavalieri-Simpson (1915c), successivamente tradotta in latino sine-flexione (1916t) su L'Enseignement mathématique.
La sua partecipazione ai lavori dell'Accademia prosegue con la Relazione del 18 Aprile, curata insieme a Enrico D'Ovidio, Sulla memoria di Gustavo Sannia, "I limiti d'una funzione in un punto limite del suo campo" (1915g).
Il 13 Giugno Peano presenta all'Accademia il suo ultimo lavoro di ricerca di analisi infinitesimale, Le grandezze coesistenti di Cauchy (1915i).
Nelle sedute di Facoltà dell'11 e del 25 Marzo ha esito negativo la richiesta di Peano di affidamento dell'incarico di Analisi superiore a lui stesso o al suo allievo T. Boggio.
Fra Aprile e Maggio, dopo l'entrata in guerra dell'Italia, Peano compie una serie di viaggi a Brescia, Verona, Venezia, Pordenone, Udine e Lugano. Il suo pacifismo e la mestizia di fronte agli sconvolgimenti del conflitto emergono nell'intervento Bello et Lingua (1915h), apparso nel numero di Marzo-Maggio del periodico inglese The International Language.
L'ultima pubblicazione dell'anno è l'articolo L'esecuzione tipografica delle formule matematiche (1916a), proposto all'Accademia delle Scienze di Torino nella seduta del 26 Dicembre.
1916
Il 2 Gennaio è presentata all'Accademia dei Lincei la nota di Peano Approssimazioni numeriche (1916b).
Mentre infuria la guerra, il matematico cuneese interviene sulle colonne della Gazzetta del Popolo della sera, l'8 Marzo, con l'elzeviro Gli Stati Uniti della Terra (1916c), in cui si dichiara a favore della Società delle Nazioni.
In Aprile appare sul Bollettino della Mathesis il suo scritto Sul principio di identità (1916d). Nel frattempo Peano ha ultimato un elenco commentato delle sue Pubblicazioni (1916e) e ha inviato, al medesimo Bollettino, una recensione del volume di Giovanni Vacca, Euclide. Il primo libro degli Elementi, che egli auspica venga utilizzato nelle scuole secondarie.
1917
L'attività scientifica di Peano concerne ora esclusivamente il calcolo numerico e confluisce nelle tre note Valori decimali abbreviati e arrotondati (1917b); Approssimazioni numeriche Nota I (1917c) e Approssimazioni numeriche Nota II (1917d), presentate all'Accademia delle Scienze di Torino, nelle sedute del 14 Gennaio, 25 Febbraio e 11 Marzo.
In Maggio egli cura, insieme ai colleghi Enrico D'Ovidio, Nicodemo Jadanza, Ottavio Zanotti-Bianco, Berardo Sterponi e Carlo Levi, la Relazione della Commissione per l'Edizione Nazionale di una Tavola dei Logaritmi (1917a).
Il 31 Luglio Peano riceve la nomina a Ufficiale della Corona d'Italia.
Nell'ambito dell'Interligua egli redige la Prefazione al testo di A. Michaux, Le Romanal (1917e).
1918
Gli interessi di Peano vertono in questo periodo su questioni di didattica e di analisi numerica. Per il supplemento al Dizionario di cognizioni utili (Torino, UTET, 1917) egli cura la voce Eguale (1918a) e sono edite, con Prefazione e note di Peano, le Tavole numeriche. Quadrato, Cubo, Radice quadrata e cubica, Logaritmo, Reciproco, Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Logaritmi naturali, Tavole di interesse, ecc. (1918b).
Nella seduta del 28 Aprile egli presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la sua nota Interpolazione nelle tavole numeriche (1918c).
Nel volume di scritti dedicati al collega Enrico D'Ovidio Peano pubblica la celebre nota di calcolo numerico Resto nelle formule di interpolazione (1918d).
Il 4 Ottobre muore Matteo Bottasso, uno dei suoi più stretti collaboratori, e Peano ne pubblica, insieme a Tommaso Boggio, il Necrologio (1918e).
1919
Il 27 Febbraio Peano invia a Boggio un autografo inedito sulla sua celebre curva che riempie un quadrato, in cui fornisce anche numerose indicazioni bibliografiche sugli autori che hanno ripreso e generalizzato il suo articolo del 1890.
Nel Bollettino della Mathesis di Aprile appare il suo commosso necrologio di Filiberto Castellano, suo assistente e collaboratore (1919a).
Nell'adunanza dell'11 Maggio il matematico cuneese presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la sua nota Risoluzione graduale delle equazioni numeriche (1919b).
Con la curatela delle voci Infinito, Logica matematica e Vettori (1919e) continua intanto la collaborazione di Peano al Dizionario di cognizioni utili. Il lemma Vettori (1919d) è pubblicato anche separatamente sul Bollettino di matematica di A. Conti.
Nei giorni 17-18 Ottobre si tiene a Trieste il Congresso dell'Associazione Mathesis e Federigo Enriques propone a Peano di presiedere la riunione del 18 Ottobre.
In concomitanza con il mutare dei suoi interessi di ricerca, sempre più orientati verso le matematiche elementari, Peano modifica anche il suo insegnamento, come si desume dal Sommario di Analisi Infinitesimale, Lezioni per il corso di integrazione, versione litografata delle Dispense a cura dei suoi studenti (1919c).
Nell'a.a. 1919-20 Giuliano Pagliero lascia l'incarico di assistente alla cattedra di Calcolo infinitesimale di Peano e Teresa Dusi vi subentra come assistente volontaria.
1920
In Marzo Peano compie un lungo viaggio a Rimini, Ancona, Foggia, Bari, Brindisi, Taranto, Crotone, Reggio Calabria, Messina, Paola, Napoli e Roma. Nello stesso mese esce sul Giornale di Matematica Finanziaria di Torino la sua nota Sulla forma dei segni di algebra (1920b).
Nell'Annuario del 1919-20 della R. Università di Torino appare, a cura di Peano, il resoconto delle Conferenze matematiche (1920a).
Nell'Autunno è nominata sua assistente alla cattedra di Calcolo infinitesimale Elisa Viglezio, una delle insegnanti più attive nelle Conferenze Matematiche Torinesi. Nell'a.a. 1920-21 Peano tiene per incarico, oltre all'insegnamento di Analisi infinitesimale, il corso di Geodesia e a lui sarà affidata la direzione del relativo Gabinetto.
1921
Reca la data 1 Gennaio l'opuscolo Academia pro Interlingua, Plure philosopho… (1921a), che segna la ripresa delle attività dell'A.p.I. dopo l'interruzione forzata per il conflitto mondiale. Fra le iniziative sostenute in questo periodo si segnala la pubblicazione, con Praefatione di Peano (1921b), del Vocabolario Interlingua, Italiano, (Inglese) e italiano, Interlingua di Gaetano Canesi.
Il 25 Marzo Leonida Tonelli si rivolge al matematico cuneese per ostacolare la manovra, messa in atto all'Università di Roma da Guido Castelnuovo, volta a far assegnare a due geometri algebrici, Federigo Enriques e Francesco Severi, le cattedre di Algebra e Calcolo. Peano risponde il 31 Marzo sostenendo la posizione di Tonelli, di Volterra e della comunità degli analisti italiani.
Nel fascicolo di Maggio del Periodico di Matematiche appare la sua nota Le definizioni in matematica (1921d), un tema ricorrente nei suoi interessi storici e filosofici. Su questioni didattiche vertono altre due pubblicazioni: lo scritto Area de rectangulo (1921e) sulla Rassegna di Matematica e Fisica e la recensione al manuale di T. Boggio, Calcolo differenziale con applicazioni geometriche (1921f), apparsa sul periodico Esercitazioni matematiche: Pubblicazione del Circolo Matematico di Catania ad uso degli studenti universitari nel fascicolo di Giugno-Luglio.
Il 15 Ottobre Peano riceve la nomina a Commendatore della Corona d'Italia.
Il suo interesse per l'astronomia lo porta ad installare un piccolo osservatorio nella villa a Cavoretto, dove riceve i bambini per mostrare loro le costellazioni. In una lettera del 6 Novembre Peano racconta a G. Vacca: "invitato da alcuni socii della Società di Cultura di Torino, li convocai sul monte dei Cappuccini alla sera, e mostrai loro le due Orse, e la stella polare. Ciò ebbe un successo straordinario. Uno degli uditori ne fece una relazione sulla Gazzetta del Popolo; ed ora qui a Cavoretto tutti desiderano ch'io spieghi loro l'astronomia; ciò che faccio ben volontieri".
1922
Il 1 Gennaio Peano conclude la nota Calculo super Calendario (1922a), allegata al Calendario perpetuo di Pietro Satta, e che è ripubblicata dall'Academia pro Interlingua il 31 Gennaio.
Il 19 Marzo egli presenta all'Accademia delle Scienze di Torino lo studio Operazioni sulle grandezze (1922c) che in Agosto è tradotto in latino sine flexione (1922t) sulla Rassegna di Matematica e Fisica dell'Istituto G. Ferraris di Torino.
Su temi di didattica vertono anche la sua Lettera al Direttore Giacomo Candido del periodico La matematica elementare, a proposito dell'articolo Le identità razionali (1922e) e la rassegna Problemi pratici (1922f), apparsa sulla stessa rivista.
Nel mese di Giugno Peano è eletto Socio corrispondente del R. Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere.
Le Circulares dell'A.p.I. ospitano la recensione di Peano al libro di A.L. Guérard, A short history of the International Language Movement (1922g), datata 4 Giugno.
Nell'a.a. 1922-23 Ugo Cassina è assistente di Peano e diventerà uno dei suoi più assidui collaboratori negli ultimi anni.
1923
Nell'Aprile Peano partecipa ad alcuni congressi a Catania, Napoli e Roma.
Nella riunione della sezione torinese della Mathesis del 5 Giugno egli interviene nell'animata discussione sugli effetti della Riforma Gentile sull'insegnamento secondario.
Dal 25 al 27 Settembre partecipa a Livorno al Congresso nazionale della Mathesis. Nello stesso mese appare la sua recensione al trattato di Alpinolo Natucci, Il concetto di numero e le sue estensioni (1923a), particolarmente apprezzato per lo sforzo di riversare nella pratica di insegnamento le ricerche fondazionali e gli aspetti storici.
1924
Il 23 Febbraio Peano discute, in una conferenza rivolta agli insegnanti, la relazione della Commissione Ministeriale sui manuali di aritmetica per le scuole secondarie. L'intervento è pubblicato nel fascicolo di Maggio del Periodico di Matematiche con il titolo Sui libri di testo per l'Aritmetica nelle scuole elementari (1924d).
In data 7 Marzo esce a Torino, per i tipi di Paravia il pregevole libriccino Giochi di Aritmetica e problemi interessanti. Operazioni curiose - Indovinelli aritmetici - Abaco - Operazioni aritmetiche semplificate - Problemi sul calendario (anni, mesi, giorni della settimana, età della luna, Pasqua) - Problemi pratici (1924b).
Dal 5 al 9 Maggio Peano partecipa a Napoli al Congresso internazionale di Filosofia.
Dal 29 al 30 Luglio è a Lione per un congresso di interlingua e si reca poi a Parigi dove il 2 Agosto si imbarca per l'America. Dall'11 al 16 Agosto Peano partecipa a Toronto al Congresso internazionale dei Matematici dove presenta, il 12 Agosto, la comunicazione in latino sine-flexione dal titolo De aequalitate (1924a), il cui testo è pubblicato nei Proceedings del Congresso e nel fascicolo del 20 Ottobre delle Circulares dell'ApI. Il 14 Agosto i congressisti si recano in gita alle cascate del Niagara e prima del suo rientro in Italia Peano visita New York.
Riceve nel frattempo una lettera di Camillo Berneri, professore di filosofia in un Liceo di Camerino ed esponente di spicco del movimento anarchico, con cui Peano intreccia una corrispondenza destinata a durare fino al 1929.
Sulla rivista polacca Wiadomosci matematyczne egli pubblica la nota Theoria simplice de logarithmos (1924a) e su La matematica elementare l'articolo La tomba di Newton (1924c).
1925
Nel numero di Gennaio del Bollettino di Matematica di A. Conti è edita la lettera di Peano datata 13 Novembre 1924, A proposito dell'articolo di L. Siriati (1925a).
Risale al 23 Marzo un suo intervento sull'International Auxiliary Language Association (1925d), redatto per il fascicolo di Agosto delle Circulares dell'A.p.I.
Nel mese di Marzo Federigo Enriques si rivolge a Peano, per incarico del Comitato direttivo dell'Enciclopedia Italiana, chiedendo "la sua autorevole collaborazione alla parte matematica dell'Enciclopedia stessa". Anche Giovanni Gentile gli scrive il 7 Aprile: "le comunico il manifesto della pubblicazione di una Enciclopedia Italiana a cui questo Istituto si accinge. È desiderio e proposito del Consiglio Direttivo che vi collaborino tutti gli studiosi più insigni d'Italia. Mi rivolgo perciò alla S.V. per pregarla anche da parte del Professore Giulio Bertoni incaricato di redigere la sezione della Enciclopedia riguardante la Linguistica, di consentire che si faccia assegnamento sulla sua ambita collaborazione per quelle voci." Peano gli risponde il 12 Aprile: "Accetto con piacere l'incarico di collaborare all'Enciclopedia Italiana e mi offro per la matematica, specialmente per le questioni logiche relative, e per la lingua internazionale." Il 22 Maggio egli ribadisce, in una lettera a Giovanni Treccani il suo impegno: "Fui invitato a collaborare all'Enciclopedia Italiana che porta il suo nome dal prof. Enriques, e dal prof. Gentile. Accetto con piacere l'offerta per la parte matematica, la logica e la lingua internazionale. E mi permetto di sottoporre loro un'idea, benché certo che non sarà adottata. L'Enciclopedia si potrebbe stampare in interlingua."
Dal 29 al 31 Ottobre Peano partecipa a Milano al Congresso dell'Associazione Mathesis, di cui presiede la riunione pomeridiana del primo giorno.
Nell'Autunno Clementina Ferrero è nominata assistente incaricata alla cattedra di Calcolo infinitesimale e manterrà tale ruolo fino al 1926-27.
Nell'a.a. 1925-26, essendo stato chiamato Francesco Tricomi a Torino, sulla cattedra di Matematiche complementari, Peano gli propone di scambiare il suo insegnamento con quello di Calcolo infinitesimale, pur conservando il ruolo di professore ordinario di analisi (cfr. G. Peano e l'Università di Torino, p. *) e tale proposta è accettata.
1926
L'organo dell'Academia pro Interlingua diviene la rivista Schola et Vita, fondata e diretta a Milano da Nicola Mastropaolo, che si varrà della stretta collaborazione con Peano per tutte le decisioni editoriali. Su questo periodico Peano pubblica in Agosto la Bibliografia pro istoria de lingua internationale 1907-1913 (1926b), in Settembre l'articolo Quadrato magico (1926c) e nel fascicolo di Ottobre-Novembre la nota Jocos de Arithmetica (1926d). Sulle Circulares dell'A.p.I. appare invece il suo intervento Sinense (1926i).
Il 25 Ottobre, in qualità di Presidente, Peano rifiuta di stampare sui periodici dell'Academia gli articoli e le traduzioni a sfondo politico suggerite dal tesoriere Gaetano Canesi.
1927
La Rivista di matematica pura e applicata di D. Palermo e A. Zappalà ospita due interventi di Peano: De vocabulo Mathematica (1927a) del 15 Aprile, e Vocabulario Mathematico (1927f) del 15 Novembre rispettivamente.
L'8 Maggio Peano presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la sua nota Sulla riforma del Calendario (1927d) e sullo stesso tema appare nelle Circulares dell'Academia pro Interlingua la sua Historia et Reforma de Calendario (1927c). Nella sua tipografia a Cavoretto esce, in data 1 Ottobre, il compendio Interlingua (1927e).
Nell'a.a. 1927-28 Piera Chinaglia è nominata assistente sulla cattedra di Calcolo infinitesimale.
1928
Con una lettera dell'11 Gennaio il Rettore A. Pochettino autorizza Peano a tenere un corso rivolto ai neo laureati in procinto di sostenere i concorsi per insegnanti.
I fascicoli di Marzo-Aprile e Settembre-Ottobre di Schola et Vita ospitano i suoi interventi Calculo super calendario (1928), Ad omne Interlinguista Collega et Amico, gratias, 27 Septembre 1928 (1928g) e Interessante libro super Calculo numerico (1928h); il numero di Agosto include la ristampa della nota Historia de numeros (1928e), apparsa nel Maggio-Giugno sul Giornale di Matematica e Fisica della Scuola Media di V. Marseguerra e A. Zappalà.
Reca la data 8 Luglio 1928 il saggio di storia della matematica Francesco Peverone ed altri matematici piemontesi ai tempi di Emanuele Filiberto (1928f), edito nel volume per il IV centenario della nascita di Emanuele Filiberto.
In occasione del 70° compleanno di Peano è pubblicato un supplemento speciale di Schola et Vita che raccoglie gli scritti a lui dedicati dai suoi collaboratori più stretti e da un comitato internazionale di linguisti e matematici. Giungono contributi di sessanta autori di quindici differenti nazionalità e numerosi telegrammi di auguri.
A causa della morte del fratello Peano non partecipa al Congresso internazionale dei Matematici, che si tiene a Bologna e il 6 Settembre gli è inviato un affettuoso telegramma dai partecipanti alla VI Sezione, Matematiche elementari, Didattica, Logica, presieduta da Samuel Dickstein.
Nell'a.a. 1928-29 Maria Cibrario è nominata assistente alla cattedra di Calcolo infinitesimale.
Il 2 Dicembre Peano presenta all'Accademia delle Scienze di Torino la nota di Cesarina Boccalatte La geometria basata sulle idee di punto e di angolo retto, che riflette l'insegnamento impartito nel corso di Matematiche complementari e i risultati sui fondamenti della geometria da parte di Pasch, Peano e Pieri. Questa studentessa era stata respinta nel Dicembre del 1927 all'esame di laurea, non avendo superato la prova di cultura generale richiesta agli studenti delle lauree miste. La disponibilità di Peano a dirigerla nella tesi testimonia il suo spirito democratico e la sua mancanza di remore a seguire anche i giovani meno dotati o meno studiosi.
1929
In Gennaio Peano accetta di far parte del primo Comitato del Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR) per la Matematica e il 24 Febbraio propone al collega Gaetano Scorza di pubblicare una nuova edizione del Formulario matematico, di cui sono ormai esaurite tutte le copie.
Il periodico Time and Tide nel numero del 5 Luglio pubblica la lettera di Peano Honorato Editore, poi ristampata nel fascicolo di Settembre-Ottobre di Schola et Vita, con il titolo Maximo intelligibilitate de interlingua (1929d).
Il quotidiano torinese La Stampa del 30 Luglio annuncia l'elezione di Peano a socio nazionale della Reale Accademia dei Lincei.
Dal 18 al 24 Settembre egli partecipa al XIII Congresso della Società Italiana per il Progresso delle Scienze.
Nel mese di Dicembre esce la sua rassegna Monete italiane nel 1929 (1929e) sul Giornale di Matematica e Fisica della Scuola Media. Nel frattempo Peano ha curato per il mensile del CNR la recensione del volume di Ugo Cassina, Calcolo numerico (1929f).
1930
Il 2 Febbraio l'Accademia delle Scienze di Torino incarica Peano di scrivere una lettera di adesione al giubileo scientifico in onore di N.N. Parfent'ev, organizzato dall'Università di Kazan. Nello stesso mese il matematico cuneese chiede e ottiene (24 e 26 Febbraio) l'autorizzazione a tenere un ciclo libero e gratuito, rivolto ai neo-dottori, di "lezioni di preparazione ai concorsi per le scuole medie".
Su Schola et Vita appaiono i suoi contributi Regulas de interlingua (1930a), Quaestiones de interlingua, Ablativo aut Nominativo (1930c) e Algebra de Grammatica (1930d): il primo nel fascicolo di Gennaio-Marzo e i restanti due in quello di Aprile-Maggio. Il numero di Aprile della rivista milanese Rendiconti della Unione Professori include il suo Studio de linguas (1930b).
Il 14 Agosto Peano è nominato, insieme a Salvatore Pincherle e a Mauro Picone, commissario per gli esami di libera docenza in Analisi infinitesimale per l'a.a. 1930-31.
Durante l'anno l'anziano matematico si reca in idrovolante da Pavia a Torino.
1931
In Aprile Peano ottiene l'autorizzazione a tenere un Ciclo di conferenze per la preparazione agli esami di abilitazione e concorso per le scuole medie, rivolte ai neo-dottori.
Lo scambio fra gli insegnamenti di F. Tricomi e Peano è ratificato dal Ministero ed egli è nominato titolare della cattedra di Matematiche complementari. Fra i suoi studenti vi è Ludovico Geymonat, già laureato in Filosofia, cui egli assegna come sottotesi per l'esame di laurea in Matematica il tema delle definizioni.
Come si desume dalla lettera del 23 Aprile inviatagli da Luigi Berzolari, egli si è sempre dimostrato disponibile a collaborare all'Enciclopedia delle matematiche elementari, personalmente o tramite i suoi allievi. Nel 1929 A. Padoa aveva terminato il capitolo dedicato alla Logica, in cui esponeva i risultati della Scuola torinese e U. Cassina quello di Calcolo numerico.
In Ottobre appare sui Rendiconti della Unione Professori la nota di Peano Jocos de Arithmetica (1931b).
Al Dicembre risale il suo ultimo scritto, Libertate et Unione (1931c), comparso su Schola et Vita.
1932
In Gennaio Peano ottiene l'autorizzazione a tenere un Ciclo di lezioni rivolte ai neo-dottori in preparazione per gli esami di abilitazione in Matematica.
Il 17 Aprile partecipa a una seduta dell'Accademia delle Scienze di Torino. Il giorno successivo tiene le sue lezioni e scrive a U. Cassina, commentando l'ultimo numero di Schola et Vita e fornendogli alcune informazioni bibliografiche.
Muore improvvisamente a Torino, in via Barbaroux 4, stroncato da un attacco di angina pectoris, il 20 Aprile alle ore 3, dopo una consueta giornata di lavoro. In serata si era divertito a vedere il film L'allegro tenente.
Il 22 Aprile sono celebrati i funerali in cattedrale e nell'atrio dell'Università tengono discorsi commemorativi il Rettore S. Pivano, il Preside della Facoltà di Scienze C. Somigliana e Gaetano Canesi.
La salma è sepolta nella fossa 674, 3° sud, del Cimitero di Torino, in una bara "adorna unicamente dei fiori di campo che i contadini avevano portato giù da Cavoretto", come registra Ubaldo Leva su La Stampa del 29 Aprile.
Peano è commemorato all'Accademia dei Lincei da F. Severi, all'Accademia delle Scienze di Torino da T. Boggio, alla Scuola Normale Superiore di Pisa da L. Tonelli, al Seminario Matematico e Fisico di Milano da U. Cassina, all'Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere da G. Vivanti, presso il Scientifico Explorativo Instituto de Mathematica di Odessa e in numerosi altri consessi.